Pregunta
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For all values of \( x, f(x)=2 x-3 \) and \( g(x)=x^{2}+2 \). Solve \( f g(x)=g f(x) \) by finding the values of \( x \). Select one: a. \( \quad x=0 \) b. \( \quad x=-5,-1 \) c. \( \quad x=5,1 \) d. \( \quad x=-5,1 \)

Ask by Frank Gibbs. in Ghana
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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The values of \( x \) that satisfy \( f(g(x)) = g(f(x)) \) are \( x = 5 \) and \( x = 1 \).

Solución

We are given \[ f(x)=2x-3 \quad \text{and} \quad g(x)=x^2+2. \] We need to solve \[ f(g(x))=g(f(x)). \] **Step 1. Compute \( f(g(x)) \):** Substitute \( g(x)=x^2+2 \) into \( f \): \[ f(g(x))=f(x^2+2)=2(x^2+2)-3=2x^2+4-3=2x^2+1. \] **Step 2. Compute \( g(f(x)) \):** Substitute \( f(x)=2x-3 \) into \( g \): \[ g(f(x))=g(2x-3)=(2x-3)^2+2. \] Expand \( (2x-3)^2 \): \[ (2x-3)^2=4x^2-12x+9. \] Thus, \[ g(f(x))=4x^2-12x+9+2=4x^2-12x+11. \] **Step 3. Set \( f(g(x)) \) equal to \( g(f(x)) \):** \[ 2x^2+1=4x^2-12x+11. \] **Step 4. Solve the equation:** Subtract \( 2x^2+1 \) from both sides: \[ 0=4x^2-12x+11-2x^2-1, \] which simplifies to: \[ 0=2x^2-12x+10. \] Divide both sides by 2: \[ 0=x^2-6x+5. \] Now factor the quadratic: \[ x^2-6x+5=(x-5)(x-1)=0. \] Set each factor to zero: \[ x-5=0 \quad \text{or} \quad x-1=0, \] giving the solutions: \[ x=5 \quad \text{or} \quad x=1. \] Thus, the values of \( x \) that satisfy \( f(g(x))=g(f(x)) \) are \( x=5 \) and \( x=1 \). The correct answer is: c. \( \quad x=5,1 \)

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To solve the equation \( f(g(x)) = g(f(x)) \), we first find the expressions for \( f(g(x)) \) and \( g(f(x)) \). 1. Calculate \( g(x) \): \[ g(x) = x^2 + 2 \] Now apply \( f \): \[ f(g(x)) = f(x^2 + 2) = 2(x^2 + 2) - 3 = 2x^2 + 4 - 3 = 2x^2 + 1 \] 2. Next, calculate \( f(x) \): \[ f(x) = 2x - 3 \] Now apply \( g \): \[ g(f(x)) = g(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 2 \] Expanding it gives: \[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \] Therefore, \[ g(f(x)) = 4x^2 - 12x + 9 + 2 = 4x^2 - 12x + 11 \] Now we set the two expressions equal: \[ 2x^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 11 \] Rearranging gives: \[ 0 = 4x^2 - 12x + 11 - 2x^2 - 1 \\ 0 = 2x^2 - 12x + 10 \] Dividing by 2 simplifies this to: \[ 0 = x^2 - 6x + 5 \] Factoring yields: \[ 0 = (x - 5)(x - 1) \] Thus, the solutions are: \[ x = 5 \quad \text{and} \quad x = 1 \] So the correct answer is: **c. \( \quad x=5,1 \)**

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