determina la ecuación de la parábola en su forma general que cumple con las condiciones de foco
irectriz

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Mar 30,2025

Question

determina la ecuación de la parábola en su forma general que cumple con las condiciones de foco $$ (4,0 $$ irectriz $$ y=-4 $$

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Partimos de la definición de parábola: el conjunto de puntos $$(x,y)$$ que tienen la misma distancia al foco y a la directriz.

1. El foco es $$ F(4,0) $$ y la directriz es $$ y = -4 $$.

2. La distancia desde un punto $$(x,y)$$ al foco es
   $$
   d_F = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}.
   $$
   
3. La distancia desde $$(x,y)$$ a la directriz es
   $$
   d_D = |y+4|.
   $$

4. Igualamos ambas distancias:
   $$
   \sqrt{(x-4)^2 + y^2} = |y+4|.
   $$

5. Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz:
   $$
   (x-4)^2 + y^2 = (y+4)^2.
   $$

6. Expandimos los términos:
   $$
   (x-4)^2 = x^2 - 8x + 16 \quad \text{y} \quad (y+4)^2 = y^2 + 8y + 16.
   $$
   Así, la ecuación se transforma en
   $$
   x^2 - 8x + 16 + y^2 = y^2 + 8y + 16.
   $$

7. Restamos $$y^2$$ y $$16$$ de ambos lados:
   $$
   x^2 - 8x = 8y.
   $$

8. Llevamos todos los términos al mismo lado para obtener la forma general:
   $$
   x^2 - 8x - 8y = 0.
   $$

La ecuación de la parábola en forma general es
$$
\boxed{x^2 - 8x - 8y = 0}.
$$
La ecuación de la parábola es $$ x^2 - 8x - 8y = 0 $$.

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