Resuelva la siguiente integral \( \int_{0}^{3} \frac{8 x}{\sqrt{x^{2}+16}} d x=\square \)

Para resolver la integral \( \int_{0}^{3} \frac{8x}{\sqrt{x^{2}+16}} \, dx \), podemos usar la sustitución trigonométrica. Observamos que \( x^2 + 16 \) se parece a \( 16 + x^2 \), así que tomamos \( x = 4\tan(\theta) \), lo que implica que \( dx = 4\sec^2(\theta) \, d\theta \). Al hacer esta sustitución, cuando \( x = 0 \), \( \theta = 0 \) y cuando \( x = 3 \), \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \). Sustituyendo en la integral: \[ \sqrt{x^2 + 16} = \sqrt{(4\tan(\theta))^2 + 16} = \sqrt{16\tan^2(\theta) + 16} = 4\sqrt{\tan^2(\theta) + 1} = 4\sec(\theta) \] La integral se transforma en: \[ \int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)} \frac{8(4\tan(\theta))}{4\sec(\theta)} \cdot 4\sec^2(\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)} 32\tan(\theta)\sec(\theta) \, d\theta \] Esta integral se puede resolver como \( 32 \int_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)} \sin(\theta) \, d\theta \) y evaluando, obtenemos \( \left[ -32\ln|\sec(\theta) + \tan(\theta)| \right]_{0}^{\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)} \). Finalmente, evaluamos y simplificamos para encontrar el resultado de la integral: \[ \int_{0}^{3} \frac{8x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx = 16\ln(4) - 8\ln(5) \approx 8.000 \]