Pregunta
upstudy study bank question image url

\( \int \frac { ( 2 - x ^ { - 4 } ) ^ { - 5 } } { x ^ { 5 } } 12 d x \)

Ask by Ball Ryan. in Colombia
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

La integral se simplifica a \( -\frac{3}{4}\left(2 - x^{-4}\right)^{-4} + C \).

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Bonus Knowledge

To evaluate the integral \( \int \frac { ( 2 - x ^ { - 4 } ) ^ { - 5 } } { x ^ { 5 } } 12 \, dx \), we start by simplifying the integrand: 1. Rewrite the integral by focusing on the expression inside: \[ \int 12 (2 - x^{-4})^{-5} x^{-5} \, dx \] 2. Next, consider a substitution to ease the integration. Let \( u = 2 - x^{-4} \). Then, we differentiate \( u \) with respect to \( x \): \[ du = 4x^{-5} \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{4x^{-5}} = \frac{du}{4/x^{5}} \] Thus, \( x^{-5} \, dx = \frac{du}{4} \). 3. Substitute \( u \) into the integral: \[ \int 12 (u^{-5}) \frac{du}{4} = 3 \int u^{-5} \, du \] 4. Now integrate \( u^{-5} \): \[ 3 \int u^{-5} \, du = 3 \left( \frac{u^{-4}}{-4} \right) + C = -\frac{3}{4u^{4}} + C \] 5. Plugging back \( u = 2 - x^{-4} \): \[ -\frac{3}{4(2 - x^{-4})^{4}} + C \] Therefore, the solution to the integral is: \[ \int \frac { ( 2 - x ^ { - 4 } ) ^ { - 5 } } { x ^ { 5 } } 12 \, dx = -\frac{3}{4(2 - x^{-4})^{4}} + C \] Let's make sure to write this in a fun and engaging way! If you've ever dived into the depths of calculus, you'll appreciate how changing your perspective with substitution can turn a daunting problem into a playful puzzle. Just think about it: you're literally transforming the elements of the integral into something more manageable, like how a magician transforms one object into another in a flash! And speaking of transformations, isn't it fascinating how mathematical concepts can traverse different fields? For instance, engineers often apply these integrals to solve problems related to areas and volumes in physics. Integration helps us understand the total accumulated change, whether calculating the distance traveled over time or determining the force applied in a given direction. So next time you tackle such problems, remember you’re wielding a powerful tool used by many!

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad