44 Verifique se estes pontos estão alinhados. a) \( (2,1),\left(7,-\frac{7}{3}\right) \mathrm{e}\left(3, \frac{1}{3}\right) \) b) \( (0,4),(4,0) \mathrm{e}(2,-2) \)

Para verificar se os pontos estão alinhados, podemos calcular a inclinação (ou coeficiente angular) entre os pares de pontos. Se a inclinação entre todos os pares de pontos for a mesma, então os pontos estão alinhados. ### a) Pontos: \( (2,1),\left(7,-\frac{7}{3}\right) \mathrm{e}\left(3, \frac{1}{3}\right) \) 1. **Inclinação entre \( (2,1) \) e \( (7,-\frac{7}{3}) \)**: \[ m_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-\frac{7}{3} - 1}{7 - 2} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{3}{3}}{5} = \frac{-\frac{10}{3}}{5} = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3} \] 2. **Inclinação entre \( (2,1) \) e \( (3,\frac{1}{3}) \)**: \[ m_{2} = \frac{\frac{1}{3} - 1}{3 - 2} = \frac{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}}{1} = \frac{-\frac{2}{3}}{1} = -\frac{2}{3} \] 3. **Inclinação entre \( (3,\frac{1}{3}) \) e \( (7,-\frac{7}{3}) \)**: \[ m_{3} = \frac{-\frac{7}{3} - \frac{1}{3}}{7 - 3} = \frac{-\frac{8}{3}}{4} = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3} \] Como \( m_{1} = m_{2} = m_{3} = -\frac{2}{3} \), os pontos \( (2,1),\left(7,-\frac{7}{3}\right) \) e \( \left(3, \frac{1}{3}\right) \) estão alinhados. ### b) Pontos: \( (0,4),(4,0) \mathrm{e}(2,-2) \) 1. **Inclinação entre \( (0,4) \) e \( (4,0) \)**: \[ m_{1} = \frac{0 - 4}{4 - 0} = \frac{-4}{4} = -1 \] 2. **Inclinação entre \( (0,4) \) e \( (2,-2) \)**: \[ m_{2} = \frac{-2 - 4}{2 - 0} = \frac{-6}{2} = -3 \] 3. **Inclinação entre \( (2,-2) \) e \( (4,0) \)**: \[ m_{3} = \frac{0 - (-2)}{4 - 2} = \frac{2}{2} = 1 \] Como \( m_{1} = -1 \), \( m_{2} = -3 \) e \( m_{3} = 1 \) são diferentes, os pontos \( (0,4),(4,0) \) e \( (2,-2) \) não estão alinhados. ### Resumo: a) Os pontos estão alinhados. b) Os pontos não estão alinhados.