En una circunferencia de 1.00 m de radio está inscrito un rectángulo de dimensiones variables. Formular una función para determinar el área del rectángulo en términos de la longitud " \( z \) " de su base.

Para formular el área del rectángulo inscrito en una circunferencia de 1.00 m de radio, inicialmente necesitamos entender que el rectángulo tocará la circunferencia en sus vértices. Si \( z \) es la longitud de la base del rectángulo, su altura \( h \) se puede encontrar utilizando el teorema de Pitágoras. La relación entre la base, la altura y el radio es: \[ \left(\frac{z}{2}\right)^2 + h^2 = 1^2 \] Despejando \( h \), obtenemos \( h = \sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} \). Por lo tanto, el área \( A \) del rectángulo, que es base por altura, se expresa como: \[ A(z) = z \cdot h = z \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} \] Esto nos da una función que relaciona el área del rectángulo con la longitud de su base. Para encontrar el valor máximo del área, se podría derivar esta función respecto a \( z \) y encontrar los puntos críticos. Es un ejercicio interesante que combina geometría y cálculo, ¡y puede revelar las proporciones perfectas que maximizan el área del rectángulo dentro de la circunferencia!