Pregunta
upstudy study bank question image url

Given the function below \[ f(x)=\sqrt[3]{-45 x^{3}+72} \] Find the equation of the tangent line to the graph of the function at \( x=1 \). Answer in \( m x+b \) form. \( L(x)= \) Use the tangent line to approximate \( f(1.1) \). \( L(1.1)= \) Compute the actual value of \( f(1.1) \). What is the error between the function value and the linear approximation? Answer as a positive value only. lerror \( 1 \approx \) ? (Approximate to at least 5 decimal places.)

Ask by Todd Wade. in the United States
Mar 13,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

The tangent line at \( x=1 \) is \( L(x) = -5x + 8 \). Using this tangent line, \( L(1.1) = 2.5 \). The actual value of \( f(1.1) \) is approximately 2.29617. The error between the function value and the linear approximation is approximately 0.20383.

Solución

¡Inicia sesión para desbloquear respuestas gratis!

Una plataforma de aprendizaje en la que confían millones de estudiantes y profesores reales.

star-icon Descubrir

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

Bonus Knowledge

To find the equation of the tangent line \( L(x) \) to the graph of the function at \( x = 1 \), we first need to find \( f(1) \) and \( f'(x) \). 1. **Calculate \( f(1) \)**: \[ f(1) = \sqrt[3]{-45(1^3) + 72} = \sqrt[3]{-45 + 72} = \sqrt[3]{27} = 3 \] 2. **Find the derivative \( f'(x) \)** using the chain rule: \[ f(x) = \sqrt[3]{-45x^3 + 72} \implies f'(x) = \frac{1}{3}(-45x^3 + 72)^{-\frac{2}{3}}(-135x^2) \] Simplifying this gives: \[ f'(x) = \frac{-135x^2}{3(-45x^3 + 72)^{\frac{2}{3}}} = \frac{-45x^2}{(-45x^3 + 72)^{\frac{2}{3}}} \] 3. **Evaluate \( f'(1) \)**: \[ f'(1) = \frac{-45(1^2)}{(-45(1^3) + 72)^{\frac{2}{3}}} = \frac{-45}{27^{\frac{2}{3}}} = \frac{-45}{9} = -5 \] 4. **Equation of the tangent line** \( L(x) \) at \( x = 1 \): Using the point-slope form \( y - f(1) = f'(1)(x - 1) \): \[ y - 3 = -5(x - 1) \implies y = -5x + 5 + 3 \implies y = -5x + 8 \] Thus, \( L(x) = -5x + 8 \). 5. **Approximation of \( f(1.1) \)**: \[ L(1.1) = -5(1.1) + 8 = -5.5 + 8 = 2.5 \] 6. **Compute the actual value of \( f(1.1) \)**: \[ f(1.1) = \sqrt[3]{-45(1.1^3) + 72} \] Calculating \( 1.1^3 = 1.331 \): \[ f(1.1) = \sqrt[3]{-45(1.331) + 72} = \sqrt[3]{-59.895 + 72} = \sqrt[3]{12.105} \approx 2.28736 \] 7. **Calculate the error**: \[ \text{error} = |f(1.1) - L(1.1)| = |2.28736 - 2.5| \approx 0.21264 \] In conclusion: - The equation of the tangent line is \( L(x) = -5x + 8 \). - The approximate value of \( f(1.1) \) using the tangent line is \( L(1.1) = 2.5 \). - The actual value of \( f(1.1) \) is approximately \( 2.28736 \), and the error is \( \text{error} \approx 0.21264 \).

¡Prueba Premium ahora!
¡Prueba Premium y hazle a Thoth AI preguntas de matemáticas ilimitadas ahora!
Quizas mas tarde Hazte Premium
Estudiar puede ser una verdadera lucha
¿Por qué no estudiarlo en UpStudy?
Seleccione su plan a continuación
Prima

Puedes disfrutar

Empieza ahora
  • Explicaciones paso a paso
  • Tutores expertos en vivo 24/7
  • Número ilimitado de preguntas
  • Sin interrupciones
  • Acceso completo a Respuesta y Solución
  • Acceso completo al chat de PDF, al chat de UpStudy y al chat de navegación
Básico

Totalmente gratis pero limitado

  • Solución limitada
Bienvenido a ¡Estudia ahora!
Inicie sesión para continuar con el recorrido de Thoth AI Chat
Continuar con correo electrónico
O continuar con
Al hacer clic en "Iniciar sesión", acepta nuestros términos y condiciones. Términos de Uso & Política de privacidad