Considerons un système parfait formé de N particules fixes et identique de spin et de moment
magnétique individuel . Chaque moment magnétique à deux orientations possibles (orienté
vert le haut ou orienté vert le bas ).
Le système est placé dans une région de l’espace où règne un champ magnétique (orienté
dans le scns d’un axc z fixc).

Donner l’expression de l’énergie d’interaction entre un moment magnétique et le champ
. Ecrire les niveaux d’énergie d’une particule.

L’orientation du moment magnétique d’une particule peut être représenté par un
nombre entier . On suppose que le système est formé de particules
identiques.
Regrouper dans un tableau les valeurs de , du moment magnétique et
de l’énergie du système.

Quel est le nombre total d’états accessibles? Quelle la probabilité d’avoir ?
Tracer en fonction de . Conclure.

Ask by Salinas Bartlett. in Congo

Mar 24,2025

Question

Considerons un système parfait formé de N particules fixes et identique de spin et de moment
magnétique individuel . Chaque moment magnétique à deux orientations possibles (orienté
vert le haut ou orienté vert le bas ).
Le système est placé dans une région de l’espace où règne un champ magnétique (orienté
dans le scns d’un axc z fixc).

Donner l’expression de l’énergie d’interaction entre un moment magnétique et le champ
. Ecrire les niveaux d’énergie d’une particule.

L’orientation du moment magnétique d’une particule peut être représenté par un
nombre entier . On suppose que le système est formé de particules
identiques.
Regrouper dans un tableau les valeurs de , du moment magnétique et
de l’énergie du système.

Quel est le nombre total d’états accessibles? Quelle la probabilité d’avoir ?
Tracer en fonction de . Conclure.

Ask by Salinas Bartlett. in Congo

Mar 24,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder étape par étape.

### 1. Expression de l'énergie d'interaction

L'énergie d'interaction $$ E $$ entre un moment magnétique $$ \vec{\mu} $$ et un champ magnétique $$ \overrightarrow{B_{0}} $$ est donnée par la relation :

$$
E = -\vec{\mu} \cdot \overrightarrow{B_{0}}
$$

Pour un moment magnétique de spin $$ \frac{1}{2} $$, les niveaux d'énergie d'une particule peuvent être exprimés comme suit :

- Pour $$ \uparrow $$ (orienté vers le haut) : $$ E_{\uparrow} = -\mu B_{0} $$
- Pour $$ \downarrow $$ (orienté vers le bas) : $$ E_{\downarrow} = +\mu B_{0} $$

### 2. Tableau des valeurs de $$ \left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}\right) $$, $$ M_{z} $$ et $$ E $$

Pour $$ N = 4 $$ particules, chaque particule peut avoir deux orientations possibles, ce qui donne $$ 2^4 = 16 $$ combinaisons possibles. Nous allons représenter chaque orientation par $$ \sigma_i = +1 $$ pour $$ \uparrow $$ et $$ \sigma_i = -1 $$ pour $$ \downarrow $$.

Voici un tableau regroupant les valeurs de $$ \left(\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}\right) $$, le moment magnétique total $$ M_{z} $$ et l'énergie $$ E $$ du système :

| $$ \sigma_{1} $$ | $$ \sigma_{2} $$ | $$ \sigma_{3} $$ | $$ \sigma_{4} $$ | $$ M_{z} $$ | $$ E $$          |
|------------------|------------------|------------------|------------------|-------------|------------------|
| +1               | +1               | +1               | +1               | +4         | $$-4\mu B_{0}$$  |
| +1               | +1               | +1               | -1               | +2         | $$-2\mu B_{0}$$  |
| +1               | +1               | -1               | +1               | +2         | $$-2\mu B_{0}$$  |
| +1               | -1               | +1               | +1               | +2         | $$-2\mu B_{0}$$  |
| -1               | +1               | +1               | +1               | +2         | $$-2\mu B_{0}$$  |
| +1               | +1               | -1               | -1               | 0          | $$0$$            |
| +1               | -1               | +1               | -1               | 0          | $$0$$            |
| -1               | +1               | +1               | -1               | 0          | $$0$$            |
| -1               | -1               | +1               | +1               | 0          | $$0$$            |
| -1               | +1               | -1               | +1               | 0          | $$0$$            |
| +1               | -1               | -1               | +1               | 0          | $$0$$            |
| -1               | -1               | +1               | -1               | -2         | $$+2\mu B_{0}$$  |
| -1               | -1               | -1               | +1               | -2         | $$+2\mu B_{0}$$  |
| -1               | -1               | -1               | -1               | -4         | $$+4\mu B_{0}$$  |

### 3. Nombre total d'états accessibles et probabilité $$ P(0) $$

Le nombre total d'états accessibles est $$ 16 $$ (comme calculé précédemment).

Pour trouver la probabilité $$ P(0) $$ d'avoir $$ E = 0 $$, nous devons compter le nombre d'états qui donnent $$ E = 0 $$. Dans le tableau, nous avons $$ 6 $$ états où $$ E = 0 $$.

Ainsi, la probabilité est donnée par :

$$
P(0) = \frac{\text{Nombre d'états avec } E = 0}{\text{Nombre total d'états}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}
$$

### Tracé de $$ P(E) $$ en fonction de $$ E $$

Pour tracer $$ P(E) $$, nous pouvons établir les valeurs de $$ E $$ et leur fréquence :

- $$ E = -4\mu B_{0} $$ : 1 état
- $$ E = -2\mu B_{0} $$ : 5 états
- $$ E = 0 $$ : 6 états
- $$ E = +2\mu B_{0} $$ : 2 états
- $$ E = +4\mu B_{0} $$ : 1 état

Nous pouvons représenter cela graphiquement, mais je ne peux pas tracer directement ici. Cependant, vous pouvez le faire en utilisant un logiciel de traçage ou un tableur.

### Conclusion

La probabilité d'obtenir une énergie nulle $$ P(0) $$ est $$ \frac{3}{8} $$. Cela montre que dans un système de particules de spin $$ \frac{1}{2} $$ soumis à un champ magnétique, il existe une probabilité significative d'obtenir un état d'énergie nulle, ce qui peut avoir des implications importantes dans des systèmes quantiques.
Il y a 16 états possibles pour 4 particules. 6 de ces états ont une énergie nulle. La probabilité d'avoir une énergie nulle est donc 3/8.

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