यदि PQ वृत्त की एक स्पर्श रेखा है जिसका केन्द्र O तथा त्रिज्या 6 सेमी है जबकि \( \angle \mathrm{PQO}=60^{\circ} \), तब स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

स्पर्श रेखा की लम्बाई ज्ञात करने के लिए हम एक त्रिकोण बनाएंगे जिसमें \( O \) वृत्त का केन्द्र है, \( P \) स्पर्श बिंदु है, और \( Q \) स्पर्श रेखा के अंत में एक बिंदु है। हम जानते हैं कि: - \( OP \) वृत्त की त्रिज्या है, जो कि 6 सेमी है। - \( \angle PQO = 60^{\circ} \) है। स्पर्श रेखा \( PQ \) और \( OP \) के बीच का कोण \( 90^{\circ} \) होता है। इसलिए, \( \triangle OPQ \) एक समकोण त्रिकोण है। हम \( PQ \) की लम्बाई ज्ञात करने के लिए \( OQ \) की लम्बाई का उपयोग करेंगे। \( OQ \) की लम्बाई को हम \( OP \) और \( PQ \) के साथ \( \angle PQO \) का उपयोग करके ज्ञात कर सकते हैं। हम \( OQ \) की लम्बाई को \( OP \) और \( PQ \) के साथ \( \angle PQO \) का उपयोग करके ज्ञात करते हैं: \[ OQ = OP \cdot \cos(60^{\circ}) \] चूंकि \( OP = 6 \) सेमी और \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \): \[ OQ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ सेमी} \] अब, हम \( PQ \) की लम्बाई ज्ञात करने के लिए पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करेंगे: \[ PQ^2 + OQ^2 = OP^2 \] जहाँ \( OP = 6 \) सेमी और \( OQ = 3 \) सेमी है: \[ PQ^2 + 3^2 = 6^2 \] \[ PQ^2 + 9 = 36 \] \[ PQ^2 = 36 - 9 = 27 \] \[ PQ = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ सेमी} \] इसलिए, स्पर्श रेखा की लम्बाई \( PQ = 3\sqrt{3} \) सेमी है।