(a) Las coordenadas cartesianas de un punto son $$ (1,1) $$. (i) Encontrar coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r0 $$ Y0 $$ \leq heta

Question

(a) Las coordenadas cartesianas de un punto son $$ (1,1) $$. (i) Encontrar coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r>0 $$ Y0 $$ \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encontrar coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r<0 $$ Y0 $$ \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (b) Las coordenadas cartesianas de un punto son $$ (2 \sqrt{3},-2) $$. (i) Encontrar coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r>0 $$ Y0 $$ \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encontrar coordenadas polares $$ (r, heta) $$ del punto, donde $$ r<0 Y 0 \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$

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**(a) Punto $$(1,1)$$** **(i) Coordenadas polares con $$ r>0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$** Para convertir de coordenadas cartesianas a polares: 1. Calculamos el radio: $$ r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}. $$ 2. Calculamos el ángulo: $$ \theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan1=\frac{\pi}{4}, $$ y dado que $$(1,1)$$ está en el primer cuadrante, $$\theta=\frac{\pi}{4}$$ es correcto. *Respuesta:* $$ r=\sqrt{2},\quad \theta=\frac{\pi}{4}. $$ **(ii) Coordenadas polares con $$ r<0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$** Utilizamos la relación $$ (r,\theta)=( -r,\theta+\pi) $$ para obtener la representación con $$ r<0 $$: De la parte (i) tenemos $$ r=\sqrt{2} $$ y $$\theta=\frac{\pi}{4}$$. Entonces: $$ r=-\sqrt{2},\quad \theta=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}. $$ *Respuesta:* $$ r=-\sqrt{2},\quad \theta=\frac{5\pi}{4}. $$ --- **(b) Punto $$(2\sqrt{3},-2)$$** **(i) Coordenadas polares con $$ r>0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$** 1. Calculamos el radio: $$ r=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4. $$ 2. Calculamos el ángulo: $$ \theta=\arctan\frac{y}{x}=\arctan\frac{-2}{2\sqrt{3}}=\arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{\pi}{6}. $$ Dado que $$\theta$$ debe estar entre $$0$$ y $$2\pi$$ y el punto $$(2\sqrt{3},-2)$$ se encuentra en el cuarto cuadrante, sumamos $$2\pi$$: $$ \theta=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}. $$ *Respuesta:* $$ r=4,\quad \theta=\frac{11\pi}{6}. $$ **(ii) Coordenadas polares con $$ r<0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$** Usamos la transformación $$ (r,\theta)=( -r,\theta+\pi) $$: De (i) tenemos $$ r=4 $$ y $$\theta=\frac{11\pi}{6}$$. Por lo tanto: $$ r=-4,\quad \theta=\frac{11\pi}{6}-\pi=\frac{11\pi}{6}-\frac{6\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}. $$ *Respuesta:* $$ r=-4,\quad \theta=\frac{5\pi}{6}. $$ **(a) Punto $$(1,1)$$** **(i) Coordenadas polares con $$ r>0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$:** $$ r=\sqrt{2},\quad \theta=\frac{\pi}{4} $$ **(ii) Coordenadas polares con $$ r<0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$:** $$ r=-\sqrt{2},\quad \theta=\frac{5\pi}{4} $$ **(b) Punto $$(2\sqrt{3},-2)$$** **(i) Coordenadas polares con $$ r>0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$:** $$ r=4,\quad \theta=\frac{11\pi}{6} $$ **(ii) Coordenadas polares con $$ r<0 $$ y $$ 0\le \theta<2\pi $$:** $$ r=-4,\quad \theta=\frac{5\pi}{6} $$

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