In piloto voló 70 km al este desde el punto hasta el . De voló 100 km al norte
asta . Calcula la medida del ángulo de cambio de curso que debe hacerse en para
egresar a .

Ask by Schultz Curry. in Mexico

Mar 26,2025

Question

In piloto voló 70 km al este desde el punto hasta el . De voló 100 km al norte
asta . Calcula la medida del ángulo de cambio de curso que debe hacerse en para
egresar a .

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Mar 26,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea $$ A=(0,0) $$. Entonces, el vuelo se describe de la siguiente manera:

- De $$ A $$ a $$ C $$: se vuela 70 km al este, de modo que $$ C=(70,0) $$.
- De $$ C $$ a $$ B $$: se vuela 100 km al norte, por lo que $$ B=(70,100) $$.

Al llegar a $$ B $$, la pista seguida es en dirección norte, es decir, el vector de recorrido es
$$
\overrightarrow{BC}=(0,1).
$$

Para regresar a $$ A $$ desde $$ B $$ se toma la trayectoria
$$
\overrightarrow{BA}=A-B=(0-70,\;0-100)=(-70,-100).
$$

El problema consiste en determinar el ángulo de cambio de curso en $$ B $$, es decir, el ángulo que separa la dirección actual (norte) y la nueva dirección que conduce a $$ A $$.

Procedemos de la siguiente manera:

1. Calcular el ángulo $$ \theta $$ entre el vector de la dirección actual en $$ B $$ (norte, $$ \mathbf{u}=(0,1) $$) y el vector $$ \mathbf{v}=\overrightarrow{BA}=(-70,-100) $$. Usamos el producto punto:
   $$
   \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0\cdot(-70)+1\cdot(-100)=-100.
   $$
   
2. Calcular las magnitudes:
   $$
   \|\mathbf{u}\|=1, \quad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-70)^2+(-100)^2}=\sqrt{4900+10000}=\sqrt{14900}\approx122.07.
   $$
   
3. Utilizando la fórmula del coseno del ángulo:
   $$
   \cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}=\frac{-100}{122.07}\approx-0.819.
   $$
   Entonces,
   $$
   \theta=\arccos(-0.819)\approx144.5^\circ.
   $$
   
Este ángulo $$ \theta\approx144.5^\circ $$ es el ángulo entre la dirección actual (norte) y la dirección hacia $$ A $$. Sin embargo, en navegación es habitual expresar la maniobra en términos del ángulo suplementario a la diferencia interna del triángulo formado.

Consideremos el triángulo $$ ABC $$ con:

- $$ AC=70 $$ km (lado horizontal),
- $$ CB=100 $$ km (lado vertical),
- $$ BA=\sqrt{70^2+100^2}\approx122.07 $$ km (hipotenusa).

El ángulo en $$ B $$ del triángulo, entre $$ \overrightarrow{BA} $$ y la dirección sur (la prolongación de $$ \overrightarrow{BC} $$ invertido), se halla usando:
$$
\tan\alpha=\frac{70}{100}\quad\Longrightarrow\quad \alpha\approx\arctan(0.7)\approx35^\circ.
$$

Dado que la dirección inicial en $$ B $$ es norte y la dirección hacia $$ A $$ es $$ S\,35^\circ\,O $$ (es decir, 35 grados al oeste del sur), el cambio de curso se obtiene sumando $$ \alpha $$ al giro de 180° que separa el norte del sur:
$$
\text{Ángulo de cambio} =180^\circ-35^\circ=145^\circ.
$$

Por lo tanto, el piloto debe hacer un cambio de curso de aproximadamente
$$
\boxed{145^\circ.}
$$
El piloto debe girar $$ 145^\circ $$ para regresar a $$ A $$ desde $$ B $$.

In piloto voló 70 km al este desde el punto hasta el . De voló 100 km al norte
asta . Calcula la medida del ángulo de cambio de curso que debe hacerse en para
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