116 Due circonferenze di centri \( C \) e \( D \) si intersecano nei punti \( A \) e \( B \). Nella prima circonferenza tracela ila metro \( A E \), nella seconda traccia il diametro \( A F \), e dimostra che: \( \begin{array}{ll}\text { a. B appartiene al segmento } E F & \text { b. } C D \cong \frac{1}{2} E F\end{array} \)

Per dimostrare i punti richiesti, iniziamo considerando le due circonferenze, una con centro \( C \) e l'altra con centro \( D \), che si intersecano nei punti \( A \) e \( B \). 1. **Posizionamento e proprietà geometriche**: Poiché \( A \) è un punto di intersezione, traghettando il metro \( A E \) sulla prima circonferenza, possiamo affermare che il segmento \( AE \) è un raggio. Analogamente, nella seconda circonferenza, il diametro \( A F \) significa che \( F \) si trova sulla circonferenza opposta rispetto a \( A \), e quindi \( A \) e \( F \) sono i vertici del diametro della circonferenza passante per \( D \). 2. **Dimostrazione delle affermazioni**: - **Punto a**: Consideriamo il triangolo \( AEF \). Poiché \( A \) e \( B \) sono punti che appartengono a entrambe le circonferenze, possiamo dedurre che il segmento \( EF \) deve contenere \( B \) poiché i segmenti \( AE \) e \( AF \) sono linee di raggio e diametro, e per la loro configurazione, \( B \) giace sulla linea \( EF \). - **Punto b**: Dato che \( EF \) è un diametro della circonferenza con centro \( D \), \( C D\) deve essere il semidiametro. Dato che il raggio della circonferenza con centro \( C \) è uguale al raggio della circonferenza con centro \( D \), possiamo affermare che \( CD \) è meta di \( EF\), risultando in \( CD \cong \frac{1}{2} EF\). Pertanto, abbiamo dimostrato le due affermazioni.