Pregunta
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\( \int \frac { e ^ { - x } } { e ^ { - x } - 2 } \)

Ask by Watkins Simmons. in Italy
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

L'integrale \( \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 2}\,dx \) si risolve sostituendo \( u = e^{-x} \), che porta a \( -\ln\left| e^{-x} - 2 \right| + C \).

Solución

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Bonus Knowledge

To solve the integral \( \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 2} \, dx \), let's make the substitution \( u = e^{-x} \). This gives us \( du = -e^{-x} \, dx \), or \( dx = -\frac{du}{u} \). Rewriting the integral in terms of \( u \) yields: \[ \int \frac{u}{u - 2} \left(-\frac{du}{u}\right) = -\int \frac{1}{u - 2} \, du. \] Now integrating \( -\frac{1}{u - 2} \) gives: \[ -\ln|u - 2| + C. \] Substituting back \( u = e^{-x} \), we find: \[ -\ln|e^{-x} - 2| + C. \] Thus, the final answer is: \[ -\ln|e^{-x} - 2| + C. \]

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