$$ \int \frac { e ^ { - x } } { e ^ { - x } - 2 } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Sia
   $$
   u = e^{-x}
   $$
   allora derivando rispetto a $$ x $$ si ottiene:
   $$
   \frac{du}{dx} = -e^{-x} \quad \Rightarrow \quad du = -e^{-x}\,dx.
   $$

2. Risolvendo per $$ dx $$:
   $$
   dx = -\frac{du}{e^{-x}} = -\frac{du}{u}.
   $$

3. Sostituendo nella forma originale dell'integrale:
   $$
   \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}-2}\,dx = \int \frac{u}{u-2}\left(-\frac{du}{u}\right) = -\int \frac{1}{u-2}\,du.
   $$

4. L'integrale diventa:
   $$
   -\int \frac{1}{u-2}\,du.
   $$

5. L'integrale di $$ \frac{1}{u-2} $$ è:
   $$
   \int \frac{1}{u-2}\,du = \ln\left| u-2 \right| + C.
   $$

6. Sostituendo il risultato nell'integrale:
   $$
   -\ln\left| u-2 \right| + C.
   $$

7. Infine, risostituendo $$ u = e^{-x} $$:
   $$
   -\ln\left| e^{-x} - 2 \right| + C.
   $$

La soluzione finale è:
$$
-\ln\left| e^{-x} - 2 \right| + C.
$$
L'integrale $$ \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} - 2}\,dx $$ si risolve sostituendo $$ u = e^{-x} $$, che porta a $$ -\ln\left| e^{-x} - 2 \right| + C $$.

\( \int \frac { e ^ { - x } } { e ^ { - x } - 2 } \)

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