I6 In settore circolare ha l'area di \( 125 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) e appartiene a un cerchio avente l'area di \( 1962,50 \mathrm{~cm}^{2} \). Calcola la Unghetza dell'arco che delimita il settore. If un eettore circolare ha l'area di \( 15 \pi \mathrm{~cm} \) ed è limitato da un arco lungo \( 6 \pi \mathrm{~cm} \). Qual è la misura del raggio del cer-

Consideriamo i due problemi uno alla volta. ─────────────────────────────── Problema 1: ─────────────────────────────── Si ha un settore circolare di area 125π cm² che fa parte di un cerchio di area 1962,50 cm². Dalla formulazione del problema si intende calcolare la lunghezza dell’arco che delimita il settore. 1. Calcoliamo il raggio del cerchio.   L’area del cerchio è data da     A = πR²   Pertanto,     πR² = 1962,50     R² = 1962,50/π   Nel problema è utile notare che, usando il valore approssimato,     625π ≈ 1962,50   Quindi R² = 625 e R = 25 cm. 2. Determiniamo l’angolo al centro (θ) del settore.   L’area del settore è data da     A_settore = (θ/360) · (πR²)   Da cui     125π = (θ/360) · 625π   Dividendo per π:     125 = (θ/360) · 625   Risolvendo per θ:     θ = 125 · 360 / 625 = (125/625) · 360 = 0,2 · 360 = 72°. 3. Calcoliamo la lunghezza dell’arco (l) che delimita il settore.   La lunghezza dell’arco è data da     l = (θ/360) · (2πR)   Sostituendo i valori:     l = (72/360) · (2π · 25)      = (1/5) · (50π)      = 10π cm. Quindi, la lunghezza dell’arco che delimita il settore è 10π cm. ─────────────────────────────── Problema 2: ─────────────────────────────── Si ha un settore (o “settore circolare”) che ha:  – Area = 15π cm²  – Arco (la cui lunghezza) = 6π cm Vogliamo determinare il raggio (r) del cerchio (ricordiamo che le aree vanno in cm² e le lunghezze in cm). 1. Sia θ l’ampiezza dell’angolo al centro espresso in gradi.   L’area del settore è:     A = (θ/360) · (πr²) = 15π   La lunghezza dell’arco è:     l = (θ/360) · (2πr) = 6π 2. Dal secondo rapporto, semplificando π:   (θ/360) · 2r = 6  ⟹ θ/360 = 6/(2r) = 3/r   Riscriviamo θ:     θ = (3/r) · 360 = 1080/r 3. Sostituiamo θ nella formula dell’area:   (θ/360) · (πr²) = 15π   Dividiamo per π:     (θ/360) · r² = 15   Sostituendo θ = 1080/r:     ((1080/r)/360) · r² = 15     (1080/(360r)) · r² = 15     (3/r) · r² = 15     3r = 15   Da cui: r = 15/3 = 5 cm. Quindi, il raggio del cerchio è 5 cm. ─────────────────────────────── Risposte: 1. La lunghezza dell’arco del settore (Problema 1) è 10π cm. 2. Il raggio del cerchio (Problema 2) è 5 cm.