4. Se planea pagar una deuda de \( \$ 250,000 \) en 6 años con pagos anuales anticipados y una tasa del \( 7 \% \) anual. ¿Cuánto se debe pagar cada año? 5. Una persona quiere ahorrar \( \$ 75,000 \) en 3 años con depósitos mensuales anticipados a

**Problema 4** Se debe determinar el pago anual \( PMT \) de una deuda de \(\$250\,000\) que se pagará en 6 años con pagos anuales anticipados y una tasa de interés del \(7\%\) anual. Para los pagos anticipados (annuity due), la relación entre el valor presente \( PV \) y la anualidad es \[ PV = PMT \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i) \] donde - \( PV = 250\,000 \) - \( i = 0.07 \) - \( n = 6 \) Despejamos \( PMT \): \[ PMT = \frac{PV}{\displaystyle \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i)} \] Sustituyendo los valores: 1. Calcular \((1+i)^{n}\): \[ (1.07)^6 \approx 1.50073 \] 2. Calcular \((1.07)^{-6}\): \[ (1.07)^{-6} \approx \frac{1}{1.50073} \approx 0.6662 \] 3. Entonces: \[ 1 - (1.07)^{-6} \approx 1 - 0.6662 = 0.3338 \] 4. Dividir entre \(i\): \[ \frac{0.3338}{0.07} \approx 4.7686 \] 5. Multiplicar por \((1+i)\) (es decir, por \(1.07\)): \[ 4.7686 \times 1.07 \approx 5.1020 \] 6. Finalmente, calcular \( PMT \): \[ PMT = \frac{250\,000}{5.1020} \approx 49\,000 \] Por lo tanto, se debe pagar aproximadamente \(\$49\,000\) cada año. --- **Problema 5** El enunciado indica: "Una persona quiere ahorrar \(\$75\,000\) en 3 años con depósitos mensuales anticipados a ..." pero falta la tasa de interés o información adicional necesaria para resolver el problema. Para determinar el monto de cada depósito en un ahorro con depósitos mensuales anticipados, se utiliza la fórmula del valor futuro de una anualidad anticipada: \[ FV = PMT \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i) \] donde - \( FV = 75\,000 \) - \( i \) es la tasa de interés periódica (mensual) - \( n \) es el número total de depósitos (en 3 años, \( n=36 \) si es mensual) - \( PMT \) es el monto de cada depósito Sin la tasa de interés, no es posible despejar \( PMT \). Se requiere la información adicional de la tasa para poder calcular el pago mensual. Si se proporcionara, por ejemplo, una tasa anual \( r \) que se convierta a mensual \( i = \frac{r}{12} \), se podría sustituir en la fórmula y resolver para \( PMT \): \[ PMT = \frac{75\,000}{\displaystyle \frac{(1+i)^{36} - 1}{i} \times (1+i)} \] Por tanto, para resolver el problema 5, se necesita conocer la tasa de interés anual o mensual.