EXERCICE 2 Le plan est rapporté à un repère ( $$ 0 ; i, j $$ ). 1. Déterminer l'ensemble des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ vérifiant: $$ |z-1|=|z-i| $$. 2. Déterminer l'ensemble des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ vérifiant: $$ |z=2|=5 $$. 3. Soit $$ T $$ la transformation du plan qui à tout point $$ M $$ de coordonnées ( $$ x ; y $$ ) associe le point $$ M^{\prime} $$ de coordonnées $$ (-2 x+3 ;-2 y-6) $$. a) Déterminer la nature de $$ T $$ et préciser ses éléments caractéristiques. b) Donner Vécriture complexe de $$ T $$. 4. On appelle respectivement $$ \left(E_{1}\right) $$ et $$ \left(E_{2}\right) $$ les ensembles des points $$ M $$ de coordonnées $$ (x ; y) $$ vérifiant : $$ \left(E_{1}\right):(x-2)^{2}+y^{2}=2 $$ $$ \left(E_{2}\right): y-x=0 $$ a) Déterminer límage $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$ de $$ \left(E_{2}\right) $$ par $$ T $$. b) Déterminer límage $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$ de $$ \left(E_{2}\right) $$ par $$ T $$. 5. En déduire l'ensemble des points $$ K $$ appartenant à $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ et $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$. Le plan est rapporté à un repère $$ \left(0 ; i_{i}\right) $$ ). 6. Déterminer l'ensemble des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ vérifiant: $$ |z-1|=|z-1| $$. 7. Déterminer l'ensemble des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ vérifiant: $$ |z-2|=5 $$. 8. Soit $$ T $$ la transformation du plan qui à tout point $$ M $$ de coordonnées $$ (x ; y) $$ associe le point $$ M^{\prime} $$ de coordonnées $$ (-2 x+3 ;-2 y-6) $$. c) Déterminer la nature de $$ T $$ et préciser ses éléments caractéristiques. d) Donner l'écriture complexe de $$ T $$. 9. On appelle respectivement $$ \left(E_{1}\right) $$ et $$ \left(E_{2}\right) $$ les ensembles des points $$ M $$ de coordonnées ( $$ x ; y $$ ) vérifiant : $$ \left(E_{1}\right): \quad(x-2)^{2}+y^{2}=2 $$

Question

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Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape en suivant les instructions données.

### 1. Déterminer l'ensemble des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ vérifiant: $$ |z-1|=|z-i| $$.

L'équation $$ |z-1|=|z-i| $$ représente l'ensemble des points équidistants des points $$ 1 $$ et $$ i $$ dans le plan complexe. Cela correspond à la médiatrice du segment reliant ces deux points.

- Les points $$ 1 $$ et $$ i $$ ont pour coordonnées respectives $$ (1, 0) $$ et $$ (0, 1) $$.
- La médiatrice de ce segment est une droite perpendiculaire au segment reliant $$ 1 $$ et $$ i $$ et passant par son milieu.

Calculons le milieu $$ M $$ de $$ 1 $$ et $$ i $$:
$$
M = \left( \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)
$$

La pente du segment $$ 1 $$ à $$ i $$ est:
$$
\text{pente} = \frac{1-0}{0-1} = -1
$$
La pente de la médiatrice est donc $$ 1 $$ (pente perpendiculaire).

L'équation de la droite passant par $$ M $$ avec une pente de $$ 1 $$ est:
$$
y - \frac{1}{2} = 1 \left( x - \frac{1}{2} \right) \implies y = x
$$

**Réponse:** L'ensemble des points $$ M $$ vérifiant $$ |z-1|=|z-i| $$ est la droite $$ y = x $$.

### 2. Déterminer l'ensemble des points $$ M $$ d'affixe $$ z $$ vérifiant: $$ |z-2|=5 $$.

L'équation $$ |z-2|=5 $$ représente un cercle de centre $$ 2 $$ et de rayon $$ 5 $$.

- Le centre est $$ (2, 0) $$ et le rayon est $$ 5 $$.

**Réponse:** L'ensemble des points $$ M $$ vérifiant $$ |z-2|=5 $$ est le cercle de centre $$ (2, 0) $$ et de rayon $$ 5 $$.

### 3. Soit $$ T $$ la transformation du plan qui à tout point $$ M $$ de coordonnées $$ (x ; y) $$ associe le point $$ M^{\prime} $$ de coordonnées $$ (-2 x+3 ;-2 y-6) $$.

#### a) Déterminer la nature de $$ T $$ et préciser ses éléments caractéristiques.

La transformation $$ T $$ peut être décomposée en une homothétie suivie d'une translation.

- **Homothétie**: Le coefficient est $$ -2 $$ (réduction et inversion).
- **Translation**: Le vecteur de translation est $$ (3, -6) $$.

**Réponse:** $$ T $$ est une homothétie de rapport $$ -2 $$ suivie d'une translation de vecteur $$ (3, -6) $$.

#### b) Donner l'écriture complexe de $$ T $$.

L'écriture complexe de $$ T $$ est donnée par:
$$
T(z) = -2z + 3 - 6i
$$

### 4. On appelle respectivement $$ \left(E_{1}\right) $$ et $$ \left(E_{2}\right) $$ les ensembles des points $$ M $$ de coordonnées $$ (x ; y) $$ vérifiant :
$$ \left(E_{1}\right):(x-2)^{2}+y^{2}=2 $$
$$ \left(E_{2}\right): y-x=0 $$

#### a) Déterminer l'image $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ de $$ \left(E_{1}\right) $$ par $$ T $$.

L'ensemble $$ E_1 $$ est un cercle de centre $$ (2, 0) $$ et de rayon $$ \sqrt{2} $$.

Pour chaque point $$ (x, y) $$ sur $$ E_1 $$, on applique $$ T $$:
$$
M' = T(M) = (-2x + 3, -2y - 6)
$$

Le centre du cercle $$ (2, 0) $$ se transforme en:
$$
T(2, 0) = (-2 \cdot 2 + 3, -2 \cdot 0 - 6) = (-1, -6)
$$

Le rayon est multiplié par $$ |-2| = 2 $$, donc le nouveau rayon est $$ 2\sqrt{2} $$.

**Réponse:** L'image $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ est un cercle de centre $$ (-1, -6) $$ et de rayon $$ 2\sqrt{2} $$.

#### b) Déterminer l'image $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$ de $$ \left(E_{2}\right) $$ par $$ T $$.

L'ensemble $$ E_2 $$ est la droite $$ y = x $$.

Pour chaque point $$ (x, x) $$ sur $$ E_2 $$:
$$
M' = T(x, x) = (-2x + 3, -2x - 6)
$$

Cette transformation est une droite, et nous pouvons exprimer $$ y' $$ en fonction de $$ x' $$:
$$
y' = -2x - 6 \quad \text{et} \quad x' = -2x + 3
$$

En résolvant pour $$ x $$:
$$
x = \frac{3 - x'}{2}
$$
Substituons dans l'équation de $$ y' $$:
$$
y' = -2\left(\frac{3 - x'}{2}\right) - 6 = -3 + x' - 6 = x' - 9
$$

**Réponse:** L'image $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$ est la droite $$ y' = x' - 9 $$.

### 5. En déduire l'ensemble des points $$ K $$ appartenant à $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ et $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$.

Pour trouver les points $$ K $$ qui appartiennent à la fois à $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ et $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$, nous devons résoudre le système d'équations:

1. $$ (x + 
**Réponses aux exercices:** 1. **Ensemble des points $$ M $$ vérifiant $$ |z-1|=|z-i| $$:** - **Réponse:** La droite $$ y = x $$. 2. **Ensemble des points $$ M $$ vérifiant $$ |z-2|=5 $$:** - **Réponse:** Le cercle de centre $$ (2, 0) $$ et de rayon $$ 5 $$. 3. **Transformation $$ T $$:** - **a) Nature de $$ T $$:** Homothétie de rapport $$ -2 $$ suivie d'une translation de vecteur $$ (3, -6) $$. - **b) Écriture complexe de $$ T $$:** $$ T(z) = -2z + 3 - 6i $$. 4. **Images des ensembles $$ E_1 $$ et $$ E_2 $$ par $$ T $$:** - **a) $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$:** Cercle de centre $$ (-1, -6) $$ et rayon $$ 2\sqrt{2} $$. - **b) $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$:** Droite $$ y' = x' - 9 $$. 5. **Ensemble des points $$ K $$ appartenant à $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ et $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$:** - **Réponse:** Les points $$ K $$ qui appartiennent à la fois au cercle $$ \left(E_{1}^{\prime}\right) $$ et à la droite $$ \left(E_{2}^{\prime}\right) $$ sont les intersections de ces deux ensembles.

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