(1.0) Resolver la integral por el método de potencias trigonométricas \[ \int \cos ^{6} x \operatorname{sen}^{3} x d x \] (1.0) Resolver la integral por el método de sustitución trigonométrica \[ \int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2 x^{4}} d x \]

\[ \textbf{1) Integral } \int \cos^{6} x\,\sin^{3} x\,dx. \] Utilizaremos el método de potencias trigonométricas. Primero, separamos una de las potencias de \(\sin x\) para realizar la sustitución: \[ \sin^{3} x = \sin^{2} x\,\sin x = \left(1-\cos^{2} x\right)\sin x. \] Luego, expresamos la integral como \[ \int \cos^{6} x\,(1-\cos^{2} x)\,\sin x\,dx. \] Realizamos la sustitución \[ u=\cos x,\quad du=-\sin x\,dx\quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx=-du. \] Con lo que la integral queda \[ \int u^{6}(1-u^{2})(-\!du)=-\int u^{6}(1-u^{2})\,du. \] Desarrollamos el integrando: \[ u^{6}(1-u^{2})=u^{6}-u^{8}. \] Entonces \[ -\int \left(u^{6}-u^{8}\right) du = -\int u^{6}\,du + \int u^{8}\,du. \] Integramos término a término: \[ -\frac{u^{7}}{7}+\frac{u^{9}}{9}+C. \] Finalmente, regresando a la variable \(x\) (recordando que \(u=\cos x\)): \[ \boxed{\int \cos^{6} x\,\sin^{3} x\,dx=-\frac{\cos^{7} x}{7}+\frac{\cos^{9} x}{9}+C.} \] \[ \textbf{2) Integral } \int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx. \] Se recomienda el método de sustitución trigonométrica, considerando que aparece \(\sqrt{x^2-36}\). Para ello, se plantea la sustitución \[ x=6\sec\theta,\quad \text{con } \theta\text{ en el intervalo que garantice } x>6. \] Derivamos: \[ dx=6\sec\theta\tan\theta\,d\theta. \] Además, \[ \sqrt{x^{2}-36}=\sqrt{36\sec^{2}\theta-36}=\sqrt{36(\sec^{2}\theta-1)}=6\tan\theta. \] Y \[ x^{4}=(6\sec\theta)^{4}=1296\sec^{4}\theta. \] Reemplazamos en la integral: \[ \int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{6\tan\theta}{1296\sec^{4}\theta}\cdot \left(6\sec\theta\tan\theta\,d\theta\right). \] Simplificamos: \[ 6\tan\theta\cdot6\sec\theta\tan\theta =36\,\sec\theta\,\tan^{2}\theta, \] entonces \[ -\frac{1}{2}\int \frac{36\,\sec\theta\,\tan^{2}\theta}{1296\sec^{4}\theta}\,d\theta =-\frac{1}{2}\int \frac{36}{1296}\frac{\tan^{2}\theta}{\sec^{3}\theta}\,d\theta. \] Observamos que \[ \frac{36}{1296}=\frac{1}{36}\quad \text{y}\quad \frac{1}{\sec^{3}\theta}=\cos^{3}\theta. \] Por lo tanto, la integral se convierte en \[ -\frac{1}{72}\int \tan^{2}\theta\,\cos^{3}\theta\,d\theta. \] Expresamos \(\tan^{2}\theta\) en términos de seno y coseno: \[ \tan^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}, \] por lo que \[ \tan^{2}\theta\,\cos^{3}\theta=\sin^{2}\theta\,\cos\theta. \] La integral se simplifica a \[ -\frac{1}{72}\int \sin^{2}\theta\,\cos\theta\,d\theta. \] Se realiza la sustitución \[ u=\sin\theta,\quad du=\cos\theta\,d\theta, \] llegando a \[ -\frac{1}{72}\int u^{2}\,du = -\frac{1}{72}\cdot\frac{u^{3}}{3} = -\frac{u^{3}}{216}+C. \] Volvemos a la variable \(\theta\): \[ -\frac{\sin^{3}\theta}{216}+C. \] Finalmente, se expresa \(\sin\theta\) en función de \(x\). Dado que \[ x=6\sec\theta\quad\Longrightarrow\quad \sec\theta=\frac{x}{6}\quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=\frac{6}{x}, \] y considerando \[ \tan\theta=\sqrt{\sec^{2}\theta-1}=\sqrt{\frac{x^{2}}{36}-1}=\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{6}, \] se tiene \[ \sin\theta=\tan\theta\,\cos\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{6}\cdot\frac{6}{x}=\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{x}. \] Por lo tanto, \[ -\frac{\sin^{3}\theta}{216} = -\frac{1}{216}\left(\frac{\sqrt{x^{2}-36}}{x}\right)^{3} = -\frac{(x^{2}-36)^{\frac{3}{2}}}{216\,x^{3}}. \] La solución final es \[ \boxed{\int \frac{\sqrt{x^{2}-36}}{-2x^{4}}\,dx=-\frac{(x^{2}-36)^{\frac{3}{2}}}{216\,x^{3}}+C.} \]