(a). $$ y^{\prime}+3 y=2 e^{-x} \quad \operatorname{Integ} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{Paso 1: Identificar la ecuación diferencial}
$$

Consideramos la ecuación diferencial lineal
$$
y^{\prime} + 3y = 2e^{-x}.
$$
Aquí, $$\,p(x)=3$$ y $$\,q(x)=2e^{-x}$$.

$$
\textbf{Paso 2: Calcular el factor integrante}
$$

El factor integrante $$\mu(x)$$ se define como
$$
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
$$

$$
\textbf{Paso 3: Multiplicar por el factor integrante}
$$

Multiplicamos la ecuación original por $$e^{3x}$$:
$$
e^{3x}y^{\prime} + 3e^{3x}y = 2e^{3x}e^{-x}=2e^{2x}.
$$
Observamos que el lado izquierdo es la derivada respecto a $$x$$ de $$e^{3x}y$$, es decir,
$$
\frac{d}{dx}\left(e^{3x}y\right)=2e^{2x}.
$$

$$
\textbf{Paso 4: Integrar ambos lados}
$$

Integrando con respecto a $$x$$:
$$
\int \frac{d}{dx}\left(e^{3x}y\right) dx = \int 2e^{2x} dx.
$$
El lado izquierdo da:
$$
e^{3x}y.
$$
Para el lado derecho, recordando que $$\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}$$, obtenemos:
$$
\int 2e^{2x}dx = 2\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=e^{2x}+C,
$$
donde $$C$$ es la constante de integración.

$$
\textbf{Paso 5: Despejar $$y$$}
$$

Tenemos:
$$
e^{3x}y=e^{2x}+C.
$$
Por lo tanto, la solución general es:
$$
y=e^{-3x}\left(e^{2x}+C\right)=e^{-x}+Ce^{-3x}.
$$

$$
\boxed{y=e^{-x}+Ce^{-3x}}
$$
La solución general de la ecuación diferencial $$ y^{\prime} + 3y = 2e^{-x} $$ es: $$ y = e^{-x} + C e^{-3x} $$ donde $$ C $$ es una constante de integración.

(a). \( y^{\prime}+3 y=2 e^{-x} \quad \operatorname{Integ} \)

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