2. Demonstre que o comprimento L de arco de \( y=f(x) \) real pode ser calculado pela fórmula abaixo quando \( a \leq x \leq b \). \[ L=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \]

Para demonstrar a fórmula do comprimento do arco de uma função real y = f(x) definida no intervalo [a, b], seguimos os seguintes passos: 1. Considere uma curva contínua e diferenciável representada por y = f(x) para x ∈ [a, b]. O objetivo é “somar” (integrar) os comprimentos dos pequenos segmentos infinitesimais que compõem a curva. 2. Seja (x, y) um ponto qualquer da curva e considere um deslocamento infinitesimal (dx, dy) sobre ela. O elemento de comprimento do arco, denominado ds, é dado pelo Teorema de Pitágoras:   ds² = dx² + dy² 3. Tomando a raiz dos dois lados temos:   ds = √(dx² + dy²) 4. Como dx é um incremento comum (assumindo que dx > 0), podemos fatorar dx²:   ds = √(1 + (dy/dx)²) dx Esta relação vale, desde que f seja diferenciável (dgx não nulo exceto em pontos isolados que não alteram o resultado integral). 5. Para obter o comprimento total L do arco da curva entre x = a e x = b, somamos (integramos) os elementos ds sobre o intervalo:   L = ∫ₐᵇ ds = ∫ₐᵇ √(1 + (dy/dx)²) dx Esta é justamente a fórmula que queríamos demonstrar:   L = ∫ₐᵇ √(1 + [fʼ(x)]²) dx Portanto, demonstramos que o comprimento de arco da curva y = f(x) no intervalo [a, b] pode ser calculado pela integral acima.