Ejercicios resue/fos de probabilidad El \( 70 \% \) de empresas tiene errores en sus activos financieros, el \( 60 \% \) tiene errores en sus pasivos financieros y el \( 40 \% \) tiene errores en sus activos y en sus pasivos financieros. Obtén razonadamente el porcentaje de empresas sin errores en sus activos, en sus pasivos o en ambos. De una muestra de 500 empresas, ¿cuántas se espera que no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros? Solución:

Para resolver este problema, utilizaremos el principio de inclusión-exclusión en la teoría de conjuntos. Denotemos: - \( A \): el conjunto de empresas con errores en activos financieros (\(70\%\)). - \( B \): el conjunto de empresas con errores en pasivos financieros (\(60\%\)). - \( |A \cap B| \): el conjunto de empresas con errores en activos y pasivos (\(40\%\)). Según la fórmula del principio de inclusión-exclusión para el cálculo de la unión de dos conjuntos, tenemos: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \] Sustituyendo los porcentajes: \[ |A \cup B| = 70\% + 60\% - 40\% = 90\% \] Por lo tanto, el \( 90\% \) de las empresas tiene errores en sus activos, en sus pasivos o en ambos. Ahora, para encontrar el porcentaje de empresas sin errores en ninguno de los dos, restamos \( 90\% \) de \( 100\% \): \[ 100\% - 90\% = 10\% \] En una muestra de 500 empresas, el número de empresas que no tienen errores en sus activos ni en sus pasivos es: \[ 10\% \text{ de } 500 = 0.10 \times 500 = 50 \] Por lo tanto, se espera que \( 50 \) empresas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros.