12 \( X \) 1. Dis s'il existe un nombre réel \( k \) et un point \( G \) tess que, pour tout point \( M, \overrightarrow{M A}+2 \overrightarrow{M B}=k \overrightarrow{M G} \). Détermine le nombre réel \( k \) et le point \( G \). Examines nombre de possibilités.

Pour résoudre cette équation vectorielle, nous pouvons reformuler l’expression donnée. En posant \( \overrightarrow{M A} + 2 \overrightarrow{M B} = k \overrightarrow{M G} \), nous analysons les vecteurs en utilisant des coordonnées. 1. Choisissons des points pour \( A \) et \( B \) dans le plan. Disons que \( A(x_a, y_a) \) et \( B(x_b, y_b) \). En écrivant \( \overrightarrow{M A} \) et \( \overrightarrow{M B} \) avec \( M(x_m, y_m) \), on obtient deux vecteurs. En développant l'équation, nous arriverons à déterminer \( k \) et à exprimer \( G \). 2. En réalité, \( k \) serait \(\frac{1}{3}\) et \( G \) serait le centre de gravité du triangle formé par les points \( A \) et \( B \) et un point \( M \). Cela nous montre qu'il y a une infinité de points qui remplissent cette condition donnée que \( k \) doit rester constant.