74\% of all bald eagles survive their first year of life. If 35 bald eagles are randomly selected, find the following probabilities. Round answers to 4 decimal places. a. Probability that exactly 27 of them survive their first year of life. 0.1448 b. Probability that at most 26 of them survive their first year of life. 0.5795 c. Probability that at least 27 of them survive their first year of life. 0.4205 d. Probability that between 20 and 27 (including 20 and 27 ) of them survive their first year of life. $$ 0.5571 \quad $$ x

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

令随机变量 $$ X $$ 表示在 35 只秃鹰中存活第一年的只数，则 $$ X $$ 服从参数为 $$ n = 35 $$ 和成功率 $$ p = 0.74 $$ 的二项分布，其概率质量函数为

$$
P(X=k)=\binom{35}{k}(0.74)^k(0.26)^{35-k}.
$$

我们下面逐步求解各小题。

---

**(a) 恰好有 27 只存活**

令 $$ k = 27 $$ 得

$$
P(X=27)=\binom{35}{27}(0.74)^{27}(0.26)^8.
$$

计算得到约为

$$
P(X=27) \approx 0.1448.
$$

---

**(b) 至多有 26 只存活**

概率为

$$
P(X\leq26)=\sum_{k=0}^{26}\binom{35}{k}(0.74)^k(0.26)^{35-k}.
$$

计算结果约为

$$
P(X\leq26) \approx 0.5795.
$$

---

**(c) 至少有 27 只存活**

利用补集

$$
P(X\geq27)=1-P(X\leq26).
$$

代入 (b) 中的值得

$$
P(X\geq27)=1-0.5795=0.4205.
$$

---

**(d) 介于 20 和 27（含 20 和 27）只存活**

设

$$
P(20\leq X\leq27)=P(X\leq27)-P(X\leq19).
$$

其中，由 (a) 与 (b) 可知

$$
P(X\leq27)=P(X\leq26)+P(X=27)=0.5795+0.1448=0.7243.
$$

接下来需要求 $$ P(X\leq19) $$：
  
$$  
P(X\leq19)=\sum_{k=0}^{19}\binom{35}{k}(0.74)^k(0.26)^{35-k}.
$$

由于 $$ p=0.74 $$ 而 $$ n=35 $$ 的均值为

$$
\mu = np=35\times0.74=25.9,
$$

当 $$ k $$ 远低于均值时 $$\bigl(k\le19\bigl)$$ 的概率极小。利用正态近似（连续性修正）求 $$ P(X\leq19) $$：
  
标准差为

$$
\sigma=\sqrt{35\times 0.74\times 0.26}\approx 2.595.
$$

令 $$ x=19.5 $$（连续性修正），对应的 $$ z $$ 值为

$$
z=\frac{19.5-25.9}{2.595}\approx -2.465.
$$

查标准正态分布表得

$$
P(Z\le -2.465)\approx 0.0070.
$$

因此，

$$
P(X\leq19)\approx 0.0070.
$$

再代入有

$$
P(20\leq X\leq27)=0.7243-0.0070=0.7173.
$$

四舍五入到小数点后 4 位，答案约为

$$
0.7173.
$$

---

最终答案（四位小数）：
  
a. $$0.1448$$  
b. $$0.5795$$  
c. $$0.4205$$  
d. $$0.7173$$
a. 恰好有27只存活的概率是0.1448 b. 至多有26只存活的概率是0.5795 c. 至少有27只存活的概率是0.4205 d. 介于20到27（包括20和27）只存活的概率是0.7173

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