Pregunta
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Actividad 2. Determinar: \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(5 x^{2}+9 x\right) \)

Ask by Herrera Simpson. in Ecuador
Mar 14,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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El límite es 14.

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The Deep Dive

Para encontrar el límite \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(5 x^{2}+9 x\right) \), simplemente sustituimos \( x \) por 1 en la expresión: \[ 5(1)^{2} + 9(1) = 5(1) + 9 = 5 + 9 = 14. \] Así que, \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(5 x^{2}+9 x\right) = 14 \). Un truco útil es recordar que para funciones polinómicas, el límite en un punto corresponde al valor de la función en ese punto, siempre que no haya indeterminaciones. ¡Eso hace que calcular límites de polinomios sea bastante sencillo!

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\[ y=x^{3}, \quad 0 \leq x \leq 2 \] Step 1 We are asked to find the surface area of the curve defined by \( y=x^{3} \) rotated about the \( x \)-axis over the interv \( 0 \leq x \leq 2 \). Recall the following formula for the surface area of a function of \( x \) rotated about the \( x \)-axis. Note t as the curve rotates in a circular manner about the \( x \)-axis, the expression \( 2 \pi y \) is the circumference of radius and the radical measures the arc length that is the width of a band, \[ S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \] We begin by substituting \( y=x^{3} \) and its derivative in the surface area formula and simplifying, \[ \begin{aligned} S & \left.=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+\left(\sqrt{3 x^{2}}\right.} \sqrt{3 x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9} \sqrt[9]{ } x^{4} d x \end{aligned} \] Step 2 We have found the following integral for the surface area. \[ S=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9 x^{4}} d x \] To evaluate the integral we will first make the substitution \( u=1+9 x^{4} \). We also will need the following to complete the substitution. \[ \begin{array}{l} d u=36 x^{3} \\ x=0 \rightarrow u=1 \\ x=2 \rightarrow u=\square 14 \end{array} \] Step 3 We can now make the substitution \( u=1+(9 x)^{4} \) and evaluate the definite integral with respect to \( u \). \[ \begin{aligned} \int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+(9 x)^{4}} d x & =\int_{1}^{145} 2 \pi \sqrt{u}\left(\frac{d u}{36}\right) \\ & =\frac{2 \pi}{36} \int_{1}^{145} \sqrt{u} d u \end{aligned} \] \[ =\frac{2 \pi}{36}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3}}\right]_{1}^{145} \]
Step 1 We are asked to find the surface area of the curve defined by \( y=x^{3} \) rotated about the \( x \)-axis over the interval \( 0 \leq x \leq 2 \). Recall the following formula for the surface area of a function of \( x \) rotated about the \( x \)-axis. Note that as the curve rotates in a circular manner about the \( x \)-axis, the expression \( 2 \pi y \) is the circumference of radius \( y \) and the radical measures the arc length that is the width of a band. \[ S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \] We begin by substituting \( y=x^{3} \) and its derivative in the surface area formula and simplifying. \[ \begin{aligned} S & \left.=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+\left(\sqrt{3 x^{2}}\right.} \sqrt{3 x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9}, 9^{x^{4}} d x \end{aligned} \] Step 2 We have found the following integral for the surface area. \[ S=\int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+9 x^{4}} d x \] To evaluate the integral we will first make the substitution \( u=1+9 x^{4} \). We also will need the following to complete the substitution. \[ \begin{array}{l} d u=36 x^{3} \\ x=0 \rightarrow u=1 \\ x=2 \rightarrow u=\square 146 x^{d x} \end{array} \] Step 3 We can now make the substitution \( u=1+(9 x)^{4} \) and evaluate the definite integral with respect to \( u \). \[ \begin{aligned} \int_{0}^{2} 2 \pi\left(x^{3}\right) \sqrt{1+(9 x)^{4}} d x & =\int_{1}^{145} 2 \pi \sqrt{u}\left(\frac{d u}{36}\right) \\ & =\frac{2 \pi}{36} \int_{1}^{145} \sqrt{u} d u \end{aligned} \] \[ =\frac{2 \pi}{36}\left[\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3}}\right]_{1}^{145} \]
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