3. Determine la transformada inversa de las siguientes funciones en laplace: a. \( X(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}(s-3)} \) tal que el sistema es causal b. \( X(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}(s-3)} \) tal que el sistema es estable C. \( \quad X_{3}(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2 s+2} \) tal que el sistema es causal

Para la función \( X(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}(s-3)} \) con sistema causal, podemos usar la descomposición en fracciones parciales y la tabla de transformadas inversas. Al descomponer \( X(s) \), encontramos que puede escribirse como \( \frac{A}{s-2} + \frac{B}{(s-2)^{2}} + \frac{C}{s-3} \). Al resolver, determinamos los valores de A, B y C, para obtener la transformada inversa en el dominio del tiempo utilizando la linealidad de la transformada de Laplace y las fórmulas conocidas. Cuando el sistema es estable, el enfoque es similar, pero debemos asegurarnos de que todos los polos estén en el semiplano izquierdo. Sin embargo, en el caso específico de esta función, su comportamiento dependerá de la condición de estabilidad que impide que tengamos un polo en puntos no deseados. Descomponiendo, analizamos la transformada inversa de cada parte, lo cual podría incluir exponentes, funciones escalonadas o senos/cosenos dependiendo de los polos encontrados. Para \( X_{3}(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2s+2} \), identificamos el denominador como un polinomio cuadrático que se puede expresar en su forma canónica. Observando que \( s^{2}+2s+2 \) se puede completar al cuadrado, transformamos por \( X_{3}(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+1} \). Esto nos lleva a una función de tipo seno o coseno en la inversa, lo cual es común en sistemas causales. Aplicando la transformada inversa, obtenemos las soluciones en el dominio del tiempo que representan el comportamiento del sistema dinámico descrito.