174 L'area totale di un prisma a base quadrata è \( 1792 \mathrm{~cm}^{2} \) e l'area di base è \( \frac{1}{5} \) dell'area late- Se \( A_{b}=\frac{1}{5} \operatorname{di} A_{1} \) allora \( A_{1}=5 A_{b} \) \[ \begin{array}{l} A_{t}=5 A_{b}+2 A_{b}=7 A_{b} \\ A_{b}=A_{t} \ldots \ldots \end{array} \] rale. Calcola il volume. \( \left[5120 \mathrm{~cm}^{3}\right] \)

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi indicati. 1. **Condizioni note:** - L'area totale del prisma \( A_t = 1792 \, \text{cm}^2 \). - L'area di base \( A_b \) è \( \frac{1}{5} \) dell'area laterale \( A_1 \). - Dalla relazione \( A_1 = 5 A_b \), possiamo esprimere l'area totale in termini di \( A_b \). 2. **Calcolo dell'area totale:** L'area totale del prisma è data dalla somma dell'area laterale e dell'area di base. Poiché ci sono due basi nel prisma, possiamo scrivere: \[ A_t = A_1 + 2A_b \] Sostituendo \( A_1 \) con \( 5A_b \): \[ A_t = 5A_b + 2A_b = 7A_b \] Ora possiamo uguagliare l'area totale: \[ 7A_b = 1792 \] Risolvendo per \( A_b \): \[ A_b = \frac{1792}{7} \] 3. **Calcolo di \( A_b \):** Eseguiamo il calcolo: \[ A_b = 256 \, \text{cm}^2 \] 4. **Calcolo dell'area laterale \( A_1 \):** Ora possiamo calcolare \( A_1 \): \[ A_1 = 5A_b = 5 \times 256 = 1280 \, \text{cm}^2 \] 5. **Determinazione dell'altezza del prisma:** L'area laterale di un prisma a base quadrata è data da \( A_1 = 4 \cdot l \cdot h \), dove \( l \) è il lato della base e \( h \) è l'altezza. L'area di base è \( A_b = l^2 \). Quindi, abbiamo: \[ l^2 = 256 \implies l = \sqrt{256} = 16 \, \text{cm} \] Ora possiamo sostituire \( l \) nell'equazione dell'area laterale: \[ 1280 = 4 \cdot 16 \cdot h \] Risolvendo per \( h \): \[ 1280 = 64h \implies h = \frac{1280}{64} = 20 \, \text{cm} \] 6. **Calcolo del volume del prisma:** Il volume \( V \) di un prisma è dato da: \[ V = A_b \cdot h \] Sostituendo i valori: \[ V = 256 \cdot 20 = 5120 \, \text{cm}^3 \] Quindi, il volume del prisma è \( \boxed{5120 \, \text{cm}^3} \).