Dimensiones de un cono El cono del barquillo de la figura debe contener 8 pulg $$ { }^{3} $$ de helado cuando se llene hasta el fondo. El diámetro del cono es 2 pulgadas y la parte supe- rior del helado tiene forma de una semiesfera. Encuentre la altura $$ h $$ del cono.

Question

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Sea el radio $$ r = 1 $$ pulgada (ya que el diámetro es $$ 2 $$ pulgadas). El volumen del cono es

$$
V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (1)^2 h = \frac{\pi h}{3},
$$

y el volumen de la semiesfera es

$$
V_{\text{hemisfera}} = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi (1)^3\right) = \frac{2\pi}{3}.
$$

La suma de ambos volúmenes debe ser igual a $$ 8 $$ pulgadas cúbicas:

$$
\frac{\pi h}{3} + \frac{2\pi}{3} = 8.
$$

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $$ 3 $$ para eliminar el denominador:

$$
\pi h + 2\pi = 24.
$$

Factorizamos $$ \pi $$:

$$
\pi(h+2) = 24.
$$

Despejamos $$ h $$:

$$
h + 2 = \frac{24}{\pi} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{24}{\pi} - 2.
$$
La altura $$ h $$ del cono es $$ \frac{24}{\pi} - 2 $$ pulgadas.

Dimensiones de un cono El cono del barquillo de la figura debe contener 8 pulg \( { }^{3} \) de helado cuando se llene hasta el fondo. El diámetro del cono es 2 pulgadas y la parte supe- rior del helado tiene forma de una semiesfera. Encuentre la altura \( h \) del cono.

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