1.- Un motor requiere lubricación periódica y el tiempo necesario para la lubricación
depende de la temperatura del motor según la ecuación:

donde es el tiempo en horas y es el tiempo total de mantenimiento.
Se desea encontrar en qué momento se minimiza el tiempo de mantenimiento.

Ask by Park Flynn. in Mexico

Mar 25,2025

Question

1.- Un motor requiere lubricación periódica y el tiempo necesario para la lubricación
depende de la temperatura del motor según la ecuación:

donde es el tiempo en horas y es el tiempo total de mantenimiento.
Se desea encontrar en qué momento se minimiza el tiempo de mantenimiento.

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1. Planteamos la función de lubricación:
$$
T(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5.
$$

2. Para encontrar el tiempo en el que se minimiza el mantenimiento, calculamos la derivada de $$ T(x) $$:
$$
T'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
$$

3. Factorizamos la derivada:
$$
T'(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3).
$$

4. Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:
$$
3(x-1)(x-3)=0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \quad \text{ó} \quad x = 3.
$$

5. Para clasificar los puntos críticos, calculamos la segunda derivada:
$$
T''(x) = 6x - 12.
$$

6. Evaluamos la segunda derivada en cada uno de los puntos críticos:
   - Para $$ x = 1 $$:
     $$
     T''(1) = 6(1) - 12 = -6 \quad \text{(valor negativo, indica un máximo)}.
     $$
   - Para $$ x = 3 $$:
     $$
     T''(3) = 6(3) - 12 = 6 \quad \text{(valor positivo, indica un mínimo)}.
     $$

7. Concluimos que el tiempo de mantenimiento se minimiza cuando:
$$
x = 3 \text{ horas.}
$$
El tiempo de mantenimiento se minimiza después de 3 horas.

1.- Un motor requiere lubricación periódica y el tiempo necesario para la lubricación
depende de la temperatura del motor según la ecuación:

donde es el tiempo en horas y es el tiempo total de mantenimiento.
Se desea encontrar en qué momento se minimiza el tiempo de mantenimiento.

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1.- Un motor requiere lubricación periódica y el tiempo necesario para la lubricación depende de la temperatura del motor según la ecuación: donde es el tiempo en horas y es el tiempo total de mantenimiento. Se desea encontrar en qué momento se minimiza el tiempo de mantenimiento.

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1.- Un motor requiere lubricación periódica y el tiempo necesario para la lubricación
depende de la temperatura del motor según la ecuación:

donde es el tiempo en horas y es el tiempo total de mantenimiento.
Se desea encontrar en qué momento se minimiza el tiempo de mantenimiento.