c. siano entrambi pennarelli, o un pastello e un pennarello. Germogli Alessia ha tre vasetti di terra, in ognuno dei quali mette due semi di pomodoro. Se ogni sene una probabilita di germogliare dell' $$ 80 \% $$, calcola la probabilità che: $$ \begin{array}{ll} ext { a. nasca almeno una pianta in uno solo dei vasetti; } \ ext { b. nasca almeno una pianta in tutti e tre i vasetti. } \ ext { Dall analisi di un campione di un raccolto di noci, si stima che circa il } 5 \% ext { sia marcio. }\end{array} $$ Prendendo due noci a caso. calcola la probabilità che:

Question

c. siano entrambi pennarelli, o un pastello e un pennarello. Germogli Alessia ha tre vasetti di terra, in ognuno dei quali mette due semi di pomodoro. Se ogni sene una probabilita di germogliare dell' $$ 80 \% $$, calcola la probabilità che: $$ \begin{array}{ll}	ext { a. nasca almeno una pianta in uno solo dei vasetti; } \ 	ext { b. nasca almeno una pianta in tutti e tre i vasetti. } \ 	ext { Dall analisi di un campione di un raccolto di noci, si stima che circa il } 5 \% 	ext { sia marcio. }\end{array} $$ Prendendo due noci a caso. calcola la probabilità che:

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Per risolvere il problema, iniziamo a estrarre le condizioni note.

### Condizioni note:
1. Germogli Alessia ha tre vasetti di terra.
2. In ogni vasetto ci sono due semi di pomodoro.
3. La probabilità che un seme germogli è dell' $$ 80\% $$ (o $$ 0.8 $$).
4. La probabilità che un seme non germogli è quindi $$ 1 - 0.8 = 0.2 $$.

### Parte a: Probabilità che nasca almeno una pianta in uno solo dei vasetti

Per calcolare la probabilità che nasca almeno una pianta in uno solo dei vasetti, possiamo usare il complemento. Prima calcoliamo la probabilità che non nasca alcuna pianta in nessuno dei vasetti.

1. **Probabilità che un seme non germogli**: $$ P(NG) = 0.2 $$
2. **Probabilità che entrambi i semi in un vasetto non germoglino**: 
   $$
   P(NG \text{ in un vasetto}) = P(NG) \times P(NG) = 0.2 \times 0.2 = 0.04
   $$
3. **Probabilità che nessun vasetto germogli**: 
   $$
   P(NG \text{ in tutti e tre i vasetti}) = P(NG \text{ in un vasetto})^3 = 0.04^3
   $$

Calcoliamo $$ 0.04^3 $$:
$$
0.04^3 = 0.000064
$$

4. **Probabilità che nasca almeno una pianta in uno dei vasetti**:
   $$
   P(\text{almeno una pianta}) = 1 - P(NG \text{ in tutti e tre i vasetti}) = 1 - 0.000064
   $$

Calcoliamo:
$$
1 - 0.000064 = 0.999936
$$

### Parte b: Probabilità che nasca almeno una pianta in tutti e tre i vasetti

Per calcolare la probabilità che nasca almeno una pianta in tutti e tre i vasetti, dobbiamo calcolare la probabilità che almeno un seme germogli in ciascun vasetto.

1. **Probabilità che almeno un seme germogli in un vasetto**:
   $$
   P(\text{almeno 1 germoglia in un vasetto}) = 1 - P(NG \text{ in un vasetto}) = 1 - 0.04 = 0.96
   $$

2. **Probabilità che almeno un seme germogli in tutti e tre i vasetti**:
   $$
   P(\text{almeno 1 in tutti e tre}) = P(\text{almeno 1 in un vasetto})^3 = 0.96^3
   $$

Calcoliamo $$ 0.96^3 $$:
$$
0.96^3 = 0.884736
$$

### Risultati finali
- a. La probabilità che nasca almeno una pianta in uno solo dei vasetti è $$ 0.999936 $$.
- b. La probabilità che nasca almeno una pianta in tutti e tre i vasetti è $$ 0.884736 $$.

### Parte finale: Probabilità che due noci siano marce

1. **Probabilità che una noce sia marcia**: $$ P(M) = 0.05 $$
2. **Probabilità che una noce non sia marcia**: $$ P(NM) = 1 - P(M) = 0.95 $$

Calcoliamo le probabilità per i seguenti eventi:
- **Entrambe le noci marce**:
   $$
   P(MM) = P(M) \times P(M) = 0.05 \times 0.05 = 0.0025
   $$

- **Almeno una noce marcia**:
   $$
   P(\text{almeno 1 marcia}) = 1 - P(NM \text{ e } NM) = 1 - (0.95 \times 0.95) = 1 - 0.9025 = 0.0975
   $$

### Risultati finali per le noci
- La probabilità che entrambe le noci siano marce è $$ 0.0025 $$.
- La probabilità che almeno una noce sia marcia è $$ 0.0975 $$.
La probabilità che almeno una pianta germogli in uno solo dei vasetti è del $$ 99.9936\% $$, e la probabilità che almeno una pianta germogli in tutti e tre i vasetti è del $$ 88.4736\% $$. Per le noci, la probabilità che entrambe siano marce è del $$ 0.25\% $$, e la probabilità che almeno una sia marcia è del $$ 9.75\% $$.

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