Dada la siguiente función: $$ \boldsymbol{f ( x )}=\frac{x^{2}}{2}+\boldsymbol{x}-\frac{3}{2} $$ Seleccione todas las opciones correctas y solo las correctas para obtener el puntaje del ejercicio. Seleccione una o más de una: Las coordenadas del ventice son $$ (-1 ;-2) $$ Es una funcion cuyo eje de simetria es $$ x=-1 $$ El vertice es $$ x=-1 $$ El coeficiente principal es a= $$ 1 / 2 $$ Imagen $$ f(x)=R-(2) $$ $$ C^{+}=(-\infty ;-3) U(1 ; \infty) $$ El coeficiente principal es a $$ =-1 / 2 $$ El eje de simetria contiene a ambas raices La ordenada al origen es $$ y=-2 $$

Question

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Consideremos la función

$$
f(x)=\frac{x^{2}}{2}+x-\frac{3}{2}.
$$

Procedemos a analizarla paso a paso.

1. Para una función cuadrática de la forma

$$
ax^{2}+bx+c,
$$

se tiene $$a=\frac{1}{2}$$, $$b=1$$ y $$c=-\frac{3}{2}$$.

2. La coordenada $$x$$ del vértice se calcula con

$$
x_{v}=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2}}=-\frac{1}{1}=-1.
$$

3. La coordenada $$y$$ del vértice se obtiene evaluando $$f(-1)$$:

$$
f(-1)=\frac{(-1)^{2}}{2}+(-1)-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}-1-\frac{3}{2}.
$$

Simplifiquemos:

$$
\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-\frac{2}{2}=-1,\quad \text{entonces} \quad -1-1=-2.
$$

Por lo tanto, el vértice es $$(-1,-2)$$.

4. El eje de simetría es la recta vertical que pasa por $$x=x_{v}$$; es decir

$$
x=-1.
$$

5. El coeficiente principal es $$a=\frac{1}{2}$$.

6. Además, las raíces se obtienen al igualar $$f(x)=0$$. Multiplicando por 2 para eliminar fracciones:

$$
x^{2}+2x-3=0,
$$

se factoriza:

$$
(x+3)(x-1)=0,
$$

con lo que las raíces son $$x=-3$$ y $$x=1$$. El eje de simetría se calcula como el promedio de las raíces:

$$
\frac{-3+1}{2}=-1,
$$

lo que confirma que $$x=-1$$ es la línea de simetría. Sin embargo, esto implica que la recta $$x=-1$$ es la mediatriz del segmento que une las raíces, pero ésta no contiene a las raíces, sino que las separa de manera simétrica.

7. La ordenada al origen se obtiene evaluando $$f(0)$$:

$$
f(0)=-\frac{3}{2},
$$

por lo que $$y=-\frac{3}{2}$$ y no $$-2$$.

Con base en lo anterior, analicemos cada opción:

- Las coordenadas del vértice son $$\boldsymbol{(-1;-2)}$$.  
  → Correcto.

- Es una función cuyo eje de simetría es $$x=-1$$.  
  → Correcto.

- El vértice es $$x=-1$$.  
  → Interpretado como “la abscisa del vértice es $$-1$$”, es correcto.

- El coeficiente principal es $$a=\frac{1}{2}$$.  
  → Correcto.

- Imagen $$ f(x)=R-(2)$$.  
  → Incorrecto. La imagen (rango) de la función es $$[ -2,\infty )$$.

- $$C^{+}=(-\infty;-3)\cup(1;\infty)$$.  
  → Incorrecto. (No corresponde a la definición de conjunto creciente o a otro concepto relacionado con esta función).

- El coeficiente principal es $$a=-\frac{1}{2}$$.  
  → Incorrecto.

- El eje de simetría contiene a ambas raíces.  
  → Incorrecto, ya que las raíces son $$x=-3$$ y $$x=1$$, y la recta $$x=-1$$ es su mediatriz, no las contiene.

- La ordenada al origen es $$y=-2$$.  
  → Incorrecto, pues $$f(0)=-\frac{3}{2}$$.

Por lo tanto, las opciones correctas son:

- Las coordenadas del vértice son $$\boldsymbol{(-1;-2)}$$.
- Es una función cuyo eje de simetría es $$x=-1$$.
- El vértice es $$x=-1$$ (se refiriendo a su abscisa).
- El coeficiente principal es $$a=\frac{1}{2}$$.
Las opciones correctas son: - Las coordenadas del vértice son $$(-1, -2)$$. - Es una función cuyo eje de simetría es $$x = -1$$. - El vértice es $$x = -1$$ (abscisa del vértice). - El coeficiente principal es $$a = \frac{1}{2}$$.

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