La placa formada por la region limitada por \( y=\sqrt{x} \), el eje \( Y \) y la recta \( y=2 \). ( \( y \) en pies) se sumerge verticalmente en agua, hasta que la recta \( y=2 \) quede 2 ples por debajo del nivel del agua. La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es:

Para determinar la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa, seguimos estos pasos: ### **1. Descripción de la Placa:** La placa está limitada por: - La curva \( y = \sqrt{x} \) (o equivalentemente \( x = y^2 \)) - El eje \( Y \) - La recta \( y = 2 \) ### **2. Configuración del Problema:** La placa se sumerge verticalmente en el agua de manera que la recta \( y = 2 \) queda 2 pies por debajo del nivel del agua. Esto significa que la superficie del agua está en \( y = 0 \). ### **3. Presión Hidrostática:** La presión ejercida por el agua a una profundidad \( y \) está dada por: \[ p(y) = \rho \cdot g \cdot y \] Donde: - \( \rho \) es la densidad del agua (\( 62.4 \, \text{lb/ft}^3 \)) - \( g \) es la aceleración de la gravedad (implícita en las unidades de \( \rho \)) ### **4. Elemento Diferencial de Fuerza:** Consideramos una tira horizontal de la placa a una profundidad \( y \) de grosor \( dy \). La longitud de esta tira es \( x(y) = y^2 \). La fuerza diferencial \( dF \) sobre esta tira es: \[ dF = p(y) \cdot \text{Área diferencial} = \rho \cdot g \cdot y \cdot y^2 \, dy = \rho \cdot g \cdot y^3 \, dy \] ### **5. Cálculo de la Fuerza Total:** Integrando desde \( y = 0 \) hasta \( y = 2 \): \[ F = \int_{0}^{2} \rho \cdot g \cdot y^3 \, dy = \rho \cdot g \cdot \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^2 = \rho \cdot g \cdot \left( \frac{16}{4} \right) = 4 \rho \cdot g \] Sustituyendo \( \rho \cdot g = 62.4 \, \text{lb/ft}^3 \): \[ F = 4 \times 62.4 = 249.6 \, \text{lb} \] ### **Resultado Final:** La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es **249.6 libras**.