Se consideră triunghiul echilateral \( D E F \) şi punctul \( G \) situat pe latura \( E F \), astfel încât \( E F=4 G F \). In punctul \( G \) construim dreapta \( a \perp(D E F) \) şi punctul \( M \in a \). Știind că \( \mathscr{P}_{D E F}=24 \mathrm{~cm} \) şi \( G M=3 \mathrm{~cm} \), calculaţi: a) \( \mathrm{d}(M, D E) \);

Pentru a rezolva problema, vom începe prin a determina latura triunghiului echilateral \( D E F \). Știind că perimetrul triunghiului este \( \mathscr{P}_{D E F} = 24 \mathrm{~cm} \), putem calcula latura \( l \) a triunghiului: \[ 3l = 24 \Rightarrow l = 8 \mathrm{~cm}. \] Deci, fiecare latură a triunghiului \( D E F \) are lungimea de \( 8 \mathrm{~cm} \). Apoi, observăm că \( E F \) este latura pe care se află punctul \( G \). Conform datelor, avem \( E F = 4 G F \). Să notăm \( G F = x \), astfel încât \( E F = 4x \). Prin urmare: \[ 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \mathrm{~cm}. \] Acest lucru ne arată că \( G F = 2 \mathrm{~cm} \) și, fiindcă \( E F = 8 \mathrm{~cm} \), atunci avem că \( G E = E F - G F = 8 - 2 = 6 \mathrm{~cm}\). În triunghiul echilateral, distanța de la un punct pe o latură până la laturile opuse poate fi calculată. Astfel, în acest caz, punctul \( G \) ar determina o linie verticală de la \( G \) la latura \( D E \). Latura \( D E \) este paralelă cu linia construită din \( G \) și punctul M. Dacă \( G M = 3 \mathrm{~cm} \), deoarece \( D E F \) este echilateral și unghiurile sunt de \( 60^\circ \), putem forma două triunghiuri, fiindcă dreapta \( a \) este perpendiculară. Deci, pentru a calcula \(\mathrm{d}(M, D E)\), vom folosi formula pentru proiecția perpendiculare: Distanța \( \mathrm{d}(M, D E) \) va fi suma \( G M + d(G, D E) \). Distanța de la \( G \) la latura \( D E \) (care este \( d(G, D E) \)) nu este altceva decât înălțimea triunghiului \( D E F \) la latura \( D E \). Înălțimea unui triunghi echilateral se calculează folosind formula: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times l = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3} \mathrm{~cm}. \] Prin urmare, distanța de la \( G \) la \( D E \) este dată de: \[ \mathrm{d}(M, D E) = G M + d(G, D E) = 3 + 4\sqrt{3} \mathrm{~cm}. \] Este o distanță destul de serioasă, având în vedere construcția geometrică!