2. If $$ p $$ and $$ q $$ are constants such that $$ x^{2}+p x \equiv 12-(q-x)(x-4) $$, then $$ p= $$ A. -3 . $$ \text { LHS: } x^{2}+p^{x} $$ B. -1 . $$ \begin{aligned} \text { RHS } & =12 \cdot(9-x)(x-4) \ & =12 \cdot\left(9 x-49-x^{2}+4 x\right) \end{aligned} $$ C. 1 . D. 3 .

Question

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令恆等式  
$$
x^{2}+p x \equiv 12-(q-x)(x-4)
$$
對所有 $$ x $$ 都成立，我們可以比較兩邊的係數。

**步驟 1：展開右手邊**

首先展開乘法：
$$
(q-x)(x-4) = qx - 4q - x^{2} + 4x = -x^{2} + (q+4)x -4q.
$$
因此，
$$
12 - (q-x)(x-4) = 12 - \left[-x^{2}+(q+4)x-4q\right] = 12 + x^{2} - (q+4)x + 4q.
$$

**步驟 2：重寫恆等式**

原恆等式得：
$$
x^{2}+p x = x^{2} - (q+4)x + \left(12+4q\right).
$$

**步驟 3：比較兩邊係數**

比較 $$ x^{2} $$ 項：
$$
1 = 1,
$$
成立。

比較 $$ x $$ 項：
$$
p = -(q+4).
$$

比較常數項：
$$
0 = 12+4q.
$$
解此方程式：
$$
4q = -12 \quad\Rightarrow\quad q = -3.
$$

**步驟 4：求 $$ p $$ 的值**

將 $$ q=-3 $$ 帶入 $$ p = -(q+4) $$：
$$
p = -((-3)+4) = -1.
$$

答案為：$$ p = -1 $$。
$$ p = -1 $$

If and are constants such that , then
A. -3 .

B. -1 .

C. 1 .
D. 3 .

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If and are constants such that , then A. -3 . B. -1 . C. 1 . D. 3 .