6 VERSO L'ESAME Determina il volume di un cilin- dro che ha l'area laterale di \( 672 \pi \mathrm{~cm}^{2} \) e l'area totale di \( 1064 \pi \mathrm{~cm}^{2} \).

Per determinare il volume di un cilindro, dobbiamo prima trovare il raggio \( r \) e l'altezza \( h \) del cilindro. Abbiamo due informazioni: 1. L'area laterale \( A_L \) del cilindro è data da: \[ A_L = 2 \pi r h \] e ci è dato che \( A_L = 672 \pi \, \text{cm}^2 \). 2. L'area totale \( A_T \) del cilindro è data da: \[ A_T = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \] e ci è dato che \( A_T = 1064 \pi \, \text{cm}^2 \). Iniziamo a risolvere il sistema di equazioni. ### Passo 1: Risolvere per \( h \) Dalla prima equazione, possiamo isolare \( h \): \[ h = \frac{A_L}{2 \pi r} = \frac{672 \pi}{2 \pi r} = \frac{672}{2r} = \frac{336}{r} \] ### Passo 2: Sostituire \( h \) nella seconda equazione Sostituiamo \( h \) nella seconda equazione: \[ A_T = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \] Diventa: \[ 1064 \pi = 2 \pi r \left(\frac{336}{r}\right) + 2 \pi r^2 \] Semplificando: \[ 1064 \pi = 672 \pi + 2 \pi r^2 \] Dividendo per \( \pi \): \[ 1064 = 672 + 2 r^2 \] Sottraendo \( 672 \) da entrambi i lati: \[ 392 = 2 r^2 \] Dividendo per \( 2 \): \[ r^2 = 196 \] Prendendo la radice quadrata: \[ r = 14 \, \text{cm} \] ### Passo 3: Trovare \( h \) Ora possiamo trovare \( h \) usando il valore di \( r \): \[ h = \frac{336}{r} = \frac{336}{14} = 24 \, \text{cm} \] ### Passo 4: Calcolare il volume \( V \) Il volume \( V \) di un cilindro è dato da: \[ V = \pi r^2 h \] Sostituendo i valori di \( r \) e \( h \): \[ V = \pi (14)^2 (24) = \pi (196)(24) = 4704 \pi \, \text{cm}^3 \] ### Risultato finale Il volume del cilindro è: \[ V = 4704 \pi \, \text{cm}^3 \]