11) Sendo \( \frac{N}{7^{A}} \) uma divisão que gera quociente exato, e \( N \) o produto dos 60 primeiros números naturais, a partir de 1 , qual é o maior valor que pode assumir o expoente \( A \) ?

Para encontrar o maior valor do expoente \( A \) na divisão \( \frac{N}{7^{A}} \), onde \( N \) é o produto dos 60 primeiros números naturais (ou seja, \( 60! \)), precisamos determinar quantas vezes o número 7 está presente na fatoração de \( 60! \). Usamos a fórmula de Legendre para encontrar a quantidade de fatores primos em \( n! \): \[ A = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor \] onde \( n = 60 \) e \( p = 7 \). Vamos calcular os termos: - Para \( k = 1 \): \[ \left\lfloor \frac{60}{7^1} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{60}{7} \right\rfloor = \left\lfloor 8.57 \right\rfloor = 8 \] - Para \( k = 2 \): \[ \left\lfloor \frac{60}{7^2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{60}{49} \right\rfloor = \left\lfloor 1.22 \right\rfloor = 1 \] - Para \( k = 3 \): \[ \left\lfloor \frac{60}{7^3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{60}{343} \right\rfloor = 0 \] Como a partir daqui os termos serão zero, podemos parar aqui. Agora, somamos os valores obtidos: \[ A = 8 + 1 + 0 = 9 \] Portanto, o maior valor que o expoente \( A \) pode assumir é \( 9 \).