$$ \frac { ( x - 0.03 ) ^ { 2 } } { ( x - 0,04 ) ( x + 0,006 ) } = 60.2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Procedemos a resolver la ecuación

$$
\frac{(x-0.03)^2}{(x-0.04)(x+0.006)} = 60.2
$$

**Paso 1. Multiplicar ambos lados por $$(x-0.04)(x+0.006)$$**

Multiplicamos para evitar denominadores:

$$
(x-0.03)^2 = 60.2\,(x-0.04)(x+0.006)
$$

**Paso 2. Expandir ambos lados**

Extendemos el numerador:

$$
(x-0.03)^2 = x^2 - 2(0.03)x + (0.03)^2 = x^2 - 0.06x + 0.0009
$$

Ahora, expandimos el producto del denominador:

$$
(x-0.04)(x+0.006) = x^2 + 0.006x - 0.04x - 0.04 \cdot 0.006 = x^2 - 0.034x - 0.00024
$$

Sustituimos en la ecuación:

$$
x^2 - 0.06x + 0.0009 = 60.2\,(x^2 - 0.034x - 0.00024)
$$

Multiplicamos el lado derecho:

$$
x^2 - 0.06x + 0.0009 = 60.2\,x^2 - 60.2\,(0.034)x - 60.2\,(0.00024)
$$

Calculamos los coeficientes:

$$
60.2 \times 0.034 = 2.0468,\quad 60.2 \times 0.00024 = 0.014448
$$

Por lo tanto, la ecuación queda:

$$
x^2 - 0.06x + 0.0009 = 60.2\,x^2 - 2.0468\,x - 0.014448
$$

**Paso 3. Llevar todos los términos a un lado**

Restamos $$x^2 - 0.06x + 0.0009$$ de ambos lados:

$$
0 = 60.2\,x^2 - 2.0468\,x - 0.014448 - x^2 + 0.06x - 0.0009
$$

Simplificamos término a término:

- Coeficiente de $$x^2$$: $$60.2\,x^2 - x^2 = 59.2\,x^2$$
- Coeficiente de $$x$$: $$-2.0468\,x + 0.06x = -1.9868\,x$$
- Término independiente: $$-0.014448 - 0.0009 = -0.015348$$

La ecuación se convierte en:

$$
59.2\,x^2 - 1.9868\,x - 0.015348 = 0
$$

**Paso 4. Aplicar la fórmula general**

La fórmula para resolver $$ax^2+bx+c=0$$ es

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$

donde

$$
a = 59.2,\quad b = -1.9868,\quad c = -0.015348.
$$

Calculamos el discriminante:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = (-1.9868)^2 - 4 \cdot 59.2 \cdot (-0.015348)
$$

Calculamos $$b^2$$:

$$
(-1.9868)^2 \approx 3.9473
$$

Calculamos el producto:

$$
4 \cdot 59.2 \cdot 0.015348 \approx 3.6344
$$

Dado que $$c$$ es negativo, el signo se invierte:

$$
\Delta \approx 3.9473 + 3.6344 = 7.5817
$$

Entonces,

$$
\sqrt{\Delta} \approx 2.7544
$$

Sustituimos en la fórmula:

$$
x = \frac{-(-1.9868) \pm 2.7544}{2\cdot 59.2} = \frac{1.9868 \pm 2.7544}{118.4}
$$

Esto da dos posibles soluciones:

1. $$x_1 = \frac{1.9868 + 2.7544}{118.4} \approx \frac{4.7412}{118.4} \approx 0.0400$$
2. $$x_2 = \frac{1.9868 - 2.7544}{118.4} \approx \frac{-0.7676}{118.4} \approx -0.00648$$

**Paso 5. Comprobar que las soluciones no anulen el denominador**

Recordamos que en la ecuación original el denominador es $$(x-0.04)(x+0.006)$$.

- Para $$x_1 \approx 0.0400$$: se tiene $$x_1 - 0.04 \approx 0$$. Esto anula el denominador, por lo que $$x_1$$ no es solución válida.
- Para $$x_2 \approx -0.00648$$: se tiene
  - $$x_2 - 0.04 \approx -0.04648 \neq 0$$
  - $$x_2 + 0.006 \approx -0.00048 \neq 0$$

Por lo tanto, $$x_2$$ es la única solución válida.

**Respuesta final:**

$$
x \approx -0.00648
$$
La solución es $$ x \approx -0.00648 $$.

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