(Valor \( 10 \% \) ) Considérense los polinomios \( P(x)=\frac{1}{2} x^{2}+\frac{3}{4} x-5 \) y \( Q(x)=\frac{2}{3} x^{2}-\frac{1}{3} x \). Encontrar \( P(x) \cdot Q(x) \)

Multiplicaremos los polinomios \[ P(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x-5 \qquad \text{y} \qquad Q(x)=\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x \] Paso 1. Se escribe el producto: \[ P(x)\cdot Q(x)=\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{4}x-5\right)\left(\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x\right) \] Paso 2. Se distribuye término a término. \[ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}x^2\cdot\frac{2}{3}x^2 &=& \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\, x^4=\frac{1}{3}x^4,\\[1mm] \frac{1}{2}x^2\cdot\left(-\frac{1}{3}x\right) &=& -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\, x^3=-\frac{1}{6}x^3,\\[1mm] \frac{3}{4}x\cdot\frac{2}{3}x^2 &=& \frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\, x^3=\frac{1}{2}x^3,\\[1mm] \frac{3}{4}x\cdot\left(-\frac{1}{3}x\right) &=& -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}\, x^2=-\frac{1}{4}x^2,\\[1mm] -5\cdot\frac{2}{3}x^2 &=& -\frac{10}{3}x^2,\\[1mm] -5\cdot\left(-\frac{1}{3}x\right) &=& \frac{5}{3}x. \end{array} \] Paso 3. Se agrupan los términos semejantes según el grado. - Término de \(x^4\): \[ \frac{1}{3}x^4 \] - Términos de \(x^3\): \[ -\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^3=\left(-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\right)x^3=\left(-\frac{1}{6}+\frac{3}{6}\right)x^3=\frac{2}{6}x^3=\frac{1}{3}x^3 \] - Términos de \(x^2\): \[ -\frac{1}{4}x^2-\frac{10}{3}x^2. \] Para combinarlos usamos el mínimo común denominador, que es \(12\): \[ -\frac{1}{4}x^2=-\frac{3}{12}x^2 \quad \text{y} \quad -\frac{10}{3}x^2=-\frac{40}{12}x^2. \] Sumando: \[ -\frac{3}{12}x^2-\frac{40}{12}x^2=-\frac{43}{12}x^2. \] - Término de \(x\): \[ \frac{5}{3}x. \] Paso 4. Se escribe el polinomio resultante: \[ P(x)\cdot Q(x)=\frac{1}{3}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{43}{12}x^2+\frac{5}{3}x. \]