\( \left\{ \begin{array} { l } { y ^ { \prime } = x [ 3 - 2 y ] } \\ { y ( 0 ) = 0 } \end{array} \right. \)

Per risolvere il sistema di equazioni differenziali dato: \[ \left\{ \begin{array} { l } { y' = x [ 3 - 2y ] } \\ { y(0) = 0 } \end{array} \right. \] seguiamo i seguenti passi: 1. **Identificazione dell'equazione differenziale**: L'equazione \( y' = x [ 3 - 2y ] \) è un'equazione differenziale ordinaria di primo ordine. 2. **Separazione delle variabili**: Possiamo riscrivere l'equazione in modo da separare le variabili \( y \) e \( x \): \[ \frac{dy}{3 - 2y} = x \, dx \] 3. **Integrazione**: Ora integriamo entrambi i lati. Iniziamo con il lato sinistro: \[ \int \frac{dy}{3 - 2y} = -\frac{1}{2} \ln |3 - 2y| + C_1 \] Per il lato destro, integriamo: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] 4. **Eguagliamento delle due integrazioni**: Eguagliamo i risultati delle integrazioni: \[ -\frac{1}{2} \ln |3 - 2y| = \frac{x^2}{2} + C \] dove \( C = C_2 - C_1 \). 5. **Risoluzione per \( y \)**: Moltiplichiamo entrambi i lati per -2: \[ \ln |3 - 2y| = -x^2 - 2C \] Esponiamo entrambi i lati: \[ |3 - 2y| = e^{-x^2 - 2C} = \frac{K}{e^{x^2}} \quad (K = e^{-2C}) \] 6. **Risoluzione finale per \( y \)**: \[ 3 - 2y = \pm \frac{K}{e^{x^2}} \] Da cui otteniamo: \[ y = \frac{3}{2} \mp \frac{K}{2e^{x^2}} \] 7. **Applicazione della condizione iniziale**: Utilizziamo la condizione iniziale \( y(0) = 0 \): \[ 0 = \frac{3}{2} \mp \frac{K}{2} \] Da qui, otteniamo \( K = 3 \) (scegliendo il segno positivo per soddisfare la condizione). 8. **Soluzione finale**: Sostituendo \( K \) nella nostra espressione per \( y \): \[ y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2e^{x^2}} = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{e^{x^2}} \right) \] Quindi, la soluzione dell'equazione differenziale è: \[ y = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{e^{x^2}} \right) \]