43-50 Dibuje un mapa de contorno de la función mostrando vatimy curvas de nivel. \( \begin{array}{ll}\text { 43. } f(x, y)=(y-2 x)^{2} & \text { 44. } f(x, y)=x^{3}-y \\ \text { 45. } f(x, y)=\sqrt{x}+y & \text { 46. } f(x, y)=\ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right) \\ \text { 47. } f(x, y)=y e^{x} & \text { 48. } f(x, y)=y \sec x\end{array} \)

\[ \textbf{43. } f(x,y) = (y-2x)^2 \] Para obtener las curvas de nivel, igualamos la función a una constante \( c \): \[ (y-2x)^2 = c \] - Si \( c = 0 \), se cumple: \[ y-2x = 0 \quad \Longrightarrow \quad y=2x. \] - Si \( c > 0 \), se tiene: \[ y-2x = \sqrt{c} \quad \text{o} \quad y-2x=-\sqrt{c}, \] de donde obtenemos: \[ y = 2x \pm \sqrt{c}. \] Por tanto, cada curva de nivel corresponde a dos líneas paralelas (simétricas respecto a \( y=2x \)). --- \[ \textbf{44. } f(x,y)=x^3-y \] Establecemos la ecuación de nivel: \[ x^3-y=c \quad \Longrightarrow \quad y=x^3-c. \] Cada valor constante \( c \) desplaza verticalmente la gráfica de la función \( y=x^3 \). Las curvas de nivel son, en esencia, la misma curva cúbica trasladada según \( c \). --- \[ \textbf{45. } f(x,y)=\sqrt{x}+y \] Igualamos a \( c \): \[ \sqrt{x}+y=c \quad \Longrightarrow \quad y=c-\sqrt{x}. \] Recordemos que \(\sqrt{x}\) está definida para \( x\ge 0 \). Cada curva de nivel es la gráfica de la función \( y=c-\sqrt{x} \), que corresponde a la traslación vertical hacia abajo de la función \(\sqrt{x}\) invertida. --- \[ \textbf{46. } f(x,y)=\ln\left(x^2+4y^2\right) \] Para las curvas de nivel, tenemos: \[ \ln\left(x^2+4y^2\right)=c. \] Aplicamos la exponencial a ambos lados: \[ x^2+4y^2=e^c. \] Si definimos \( a=e^c \) (con \( a>0 \)), obtenemos: \[ x^2+4y^2=a. \] Esta ecuación representa una elipse centrada en el origen. Para verlo de forma estándar, dividimos ambos lados: \[ \frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{a/4}=1. \] Cada valor de \( c \) (o equivalentemente de \( a \)) genera una elipse de distinto tamaño, pero con misma forma. --- \[ \textbf{47. } f(x,y)=y e^x \] Para las curvas de nivel se impone: \[ y e^x=c \quad \Longrightarrow \quad y=c\,e^{-x}. \] Cada valor constante \( c \) genera una curva exponencial, la cual decrece o crece dependiendo del signo de \( c \). Por ejemplo, para \( c>0 \) se tiene una función exponencial decreciente en \( y \) conforme \( x \) aumenta, y para \( c<0 \) la gráfica es la imagen reflejada respecto del eje \( x \). --- \[ \textbf{48. } f(x,y)=y \sec x \] Igualamos a \( c \): \[ y\sec x=c \quad \Longrightarrow \quad y=c\cos x. \] Las curvas de nivel son de la forma: \[ y=c \cos x, \] las cuales son funciones periódicas en \( x \) moduladas por el valor constante \( c \). El patrón es similar a la gráfica del coseno escalada verticalmente por \( c \). --- Estos son los pasos para determinar las curvas de nivel de cada una de las funciones planteadas y por ende para dibujar sus mapas de contorno.