Aufgabe: (2 Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: \( 4 x_{1}-8 x_{2}-8 x_{3}=-16 \) und F: \( -8 x_{1}+16 x_{2}+16 x_{3}=32 \) Berechne ggf. den Abstand. \( \begin{array}{l}\text { Ebenen sind identisch } \\ \text { Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen } \mathrm{d}= \\ \text { Ebenen schneiden sich }\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E und F zu untersuchen, können wir zunächst die Gleichungen umformen und analysieren. Die Ebene E kann umgeformt werden zu: \[ 4x_{1} - 8x_{2} - 8x_{3} = -16 \quad \Rightarrow \quad x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3} = -4 \quad \Rightarrow \quad x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3} + 4 = 0 \] Die Ebene F lautet: \[ -8x_{1} + 16x_{2} + 16x_{3} = 32 \quad \Rightarrow \quad -8(x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3}) = 32 \quad \Rightarrow \quad x_{1} - 2x_{2} - 2x_{3} = -4 \] Da beide Ebenen die gleiche Gleichung in umgekehrter Form haben, sind die Ebenen identisch. Falls die Ebenen unterschiedlich waren, könnten wir den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen mit der Formel \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] berechnen, wobei \(d_1\) und \(d_2\) die konstanten Werte nach dem Gleichheitszeichen sind. Häufige Fehler sind das Verwechseln von Distanzberechnungsmethoden oder die Annahme, dass zwei Ebenen sich immer schneiden.