$$ ( 2 x + 3 y ) d x + ( 3 x + 4 y ) d y = 0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Se tiene la ecuación diferencial exacta
   $$
   (2x+3y)\,dx + (3x+4y)\,dy = 0.
   $$

2. Para que la ecuación sea exacta se requiere que
   $$
   \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
   $$
   donde $$ M(x,y)=2x+3y $$ y $$ N(x,y)=3x+4y $$.

Calculamos:
   $$
   \frac{\partial M}{\partial y}=3,\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3.
   $$
   Como ambos son iguales, la ecuación es exacta.

3. Existe una función potencial $$ F(x,y) $$ tal que:
   $$
   F_x = 2x+3y \quad \text{y} \quad F_y = 3x+4y.
   $$

4. Integrando $$ F_x $$ con respecto a $$ x $$:
   $$
   F(x,y) = \int (2x+3y)\,dx = x^2+3xy + h(y),
   $$
   donde $$ h(y) $$ es una función de $$ y $$ que se determina.

5. Derivamos $$ F(x,y) $$ con respecto a $$ y $$:
   $$
   F_y(x,y) = 3x+h'(y).
   $$

6. Igualamos con $$ N(x,y) $$:
   $$
   3x+h'(y)=3x+4y \quad \Longrightarrow \quad h'(y)=4y.
   $$

7. Integramos $$ h'(y) $$ respecto a $$ y $$:
   $$
   h(y)=\int 4y\,dy = 2y^2.
   $$

8. La función potencial completa es:
   $$
   F(x,y)=x^2+3xy+2y^2.
   $$

9. La solución general de la ecuación diferencial es:
   $$
   x^2+3xy+2y^2=C,
   $$
   donde $$ C $$ es una constante arbitraria.
La solución general de la ecuación diferencial $$ (2x+3y)\,dx + (3x+4y)\,dy = 0 $$ es $$ x^2 + 3xy + 2y^2 = C $$, donde $$ C $$ es una constante.

\( ( 2 x + 3 y ) d x + ( 3 x + 4 y ) d y = 0 \)

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