Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función $$ \rho(r)=r $$ (en $$ \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} $$ ) dentro de un radio $$ \mathrm{R}=2 $$ metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera?

Question

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La masa $$ M $$ de la esfera se calcula integrando la densidad sobre el volumen de la esfera. En coordenadas esféricas, el elemento diferencial de volumen es

$$
dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi
$$

Dado que la densidad es $$ \rho(r)=r $$, la masa se obtiene de la siguiente integral triple:

$$
M = \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \rho(r)\, r^2 \sin\theta\, d\phi\, d\theta\, dr = \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} r\, r^2 \sin\theta\, d\phi\, d\theta\, dr
$$

Simplificando se tiene:

$$
M = \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} r^3 \sin\theta\, d\phi\, d\theta\, dr
$$

Para la esfera con $$ R=2 $$ metros, la integral se expresa como:

$$
M = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} r^3 \sin\theta\, d\phi\, d\theta\, dr
$$

Observando que la integración sobre $$ \phi $$ y $$ \theta $$ corresponde a la integral del ángulo sólido, se tiene:

$$
\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi
$$
$$
\int_{0}^{\pi} \sin\theta\, d\theta = 2
$$

Por lo tanto, la integral angular es:

$$
2\pi \times 2 = 4\pi
$$

Finalmente, la integral para la masa es:

$$
M = 4\pi \int_{0}^{2} r^3\, dr
$$

Esta es la integral que se debe utilizar para calcular la masa de la esfera con densidad variable $$ \rho(r)=r $$ y radio $$ R=2 $$ metros.
La masa de la esfera se calcula usando la integral triple: $$ M = 4\pi \int_{0}^{2} r^3\, dr $$ Esta integral determina la masa de la esfera con densidad $$ \rho(r)=r $$ y radio $$ R=2 $$ metros.

Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r)=r \) (en \( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera?

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