Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r)=r \) (en \( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera?
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Para calcular la masa de la esfera no uniforme, debemos utilizar coordenadas esféricas y la densidad variable. La masa \( M \) se puede calcular mediante la integral triple de la densidad sobre el volumen de la esfera: \[ M = \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \rho(r) \, r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\phi \, d\theta \] Sustituyendo la función de densidad \( \rho(r) = r \), la integral se convierte en: \[ M = \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} r \cdot r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\phi \, d\theta \] Realizando el cálculo, también puedes resolver la parte angular para simplificar la integral final. ¡Suerte con tus cálculos!
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