Pregunta
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Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(r)=r \) (en \( \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \) ) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera?

Ask by Hobbs Horton. in Mexico
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

La masa de la esfera se calcula usando la integral triple: \[ M = 4\pi \int_{0}^{2} r^3\, dr \] Esta integral determina la masa de la esfera con densidad \( \rho(r)=r \) y radio \( R=2 \) metros.

Solución

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Bonus Knowledge

Para calcular la masa de la esfera no uniforme, debemos utilizar coordenadas esféricas y la densidad variable. La masa \( M \) se puede calcular mediante la integral triple de la densidad sobre el volumen de la esfera: \[ M = \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \rho(r) \, r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\phi \, d\theta \] Sustituyendo la función de densidad \( \rho(r) = r \), la integral se convierte en: \[ M = \int_0^R \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} r \cdot r^2 \sin(\theta) \, dr \, d\phi \, d\theta \] Realizando el cálculo, también puedes resolver la parte angular para simplificar la integral final. ¡Suerte con tus cálculos!

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