(a). $$ \frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0 $$ (b). $$ \frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

### (a) Ecuación: 
$$
\frac{dy}{dx} + 2x\,y^2 = 0
$$

1. Escribimos la ecuación de manera separable:
   $$
   \frac{dy}{dx} = -2x\,y^2
   $$
2. Separamos las variables:
   $$
   \frac{1}{y^2}\,dy = -2x\,dx
   $$
3. Integramos ambos lados:
   $$
   \int \frac{1}{y^2}\,dy = \int -2x\,dx
   $$
4. Realizamos las integraciones:
   - Lado izquierdo:
     $$
     \int y^{-2}\,dy = -y^{-1} + C_1
     $$
   - Lado derecho:
     $$
     \int -2x\,dx = -x^2 + C_2
     $$
5. Combinamos las constantes (definimos $$ C = C_2 - C_1 $$):
   $$
   -\frac{1}{y} = -x^2 + C
   $$
6. Multiplicamos ambos lados por $$-1$$:
   $$
   \frac{1}{y} = x^2 - C
   $$
7. Renombramos la constante (por ejemplo, $$ C_1 = -C $$) para escribir la solución general:
   $$
   y = \frac{1}{x^2 + C_1}
   $$

---

### (b) Ecuación:
$$
\frac{dy}{dx} = e^{3x+2y}
$$

1. Reescribimos la exponencial separando los términos:
   $$
   e^{3x+2y} = e^{3x}\,e^{2y}
   $$
2. La ecuación se convierte en:
   $$
   \frac{dy}{dx} = e^{3x}\,e^{2y}
   $$
3. Separamos las variables dividiendo entre $$ e^{2y} $$:
   $$
   e^{-2y}\,dy = e^{3x}\,dx
   $$
4. Integramos ambos lados:
   $$
   \int e^{-2y}\,dy = \int e^{3x}\,dx
   $$
5. Realizamos las integraciones:
   - Lado izquierdo:
     $$
     \int e^{-2y}\,dy = -\frac{1}{2}\,e^{-2y} + C_1
     $$
   - Lado derecho:
     $$
     \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\,e^{3x} + C_2
     $$
6. Combinamos las constantes (definamos $$ C = C_2 - C_1 $$):
   $$
   -\frac{1}{2}\,e^{-2y} = \frac{1}{3}\,e^{3x} + C
   $$
7. Multiplicamos por $$-2$$ para simplificar:
   $$
   e^{-2y} = -\frac{2}{3}\,e^{3x} + C_1
   $$
   donde $$ C_1 $$ es una constante arbitraria.

Esta es la solución general de la ecuación (b).
### (a) Ecuación: $$ \frac{dy}{dx} + 2x\,y^2 = 0 $$ **Solución:** $$ y = \frac{1}{x^2 + C} $$ --- ### (b) Ecuación: $$ \frac{dy}{dx} = e^{3x+2y} $$ **Solución:** $$ e^{-2y} = -\frac{2}{3}\,e^{3x} + C $$ donde $$ C $$ es una constante.

(a). \( \frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0 \) (b). \( \frac{d y}{d x}=e^{3 x+2 y} \)

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