269. Konstruiraj enakostranični trikotnik \( A B C(a=3 \mathrm{~cm}) \) in nariši vektor \( \vec{a}=\overrightarrow{C A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \) ter izračunaj njegovo dolžino.

Začnimo z reševanjem problema korak za korakom. ### 1. Konstruiranje enakostraničnega trikotnika \( ABC \) Imamo enakostranični trikotnik \( ABC \) s stranico \( a = 3 \, \text{cm} \). To pomeni, da so vse tri stranice trikotnika enake dolžine. - **Korak 1:** Narišemo točko \( A \). - **Korak 2:** Narišemo točko \( B \) na razdalji \( 3 \, \text{cm} \) od točke \( A \). - **Korak 3:** Uporabimo kot 60° za konstrukcijo točke \( C \) na razdalji \( 3 \, \text{cm} \) od točke \( B \) in \( A \). ### 2. Izračun vektorja \( \vec{a} = \overrightarrow{C A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \) - **Vektor \( \overrightarrow{A B} \)**: Ker je dolžina \( AB = 3 \, \text{cm} \), lahko zapišemo: \[ \overrightarrow{A B} = 3 \hat{i} \] (predpostavljamo, da je \( A \) na izhodišču in \( B \) na desni strani). - **Vektor \( \overrightarrow{C A} \)**: Ugotovimo koordinate točke \( C \). Če je \( A(0, 0) \) in \( B(3, 0) \), potem je \( C \) na koordinatah: \[ C\left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \] Tako je vektor \( \overrightarrow{C A} \): \[ \overrightarrow{C A} = A - C = (0, 0) - \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \] - **Izračun \( \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \)**: \[ \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} = \frac{1}{2} (3, 0) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) \] ### 3. Seštevanje vektorjev Sedaj izračunamo vektor \( \vec{a} \): \[ \vec{a} = \overrightarrow{C A} + \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{3}{2}, 0\right) \] \[ \vec{a} = \left(-\frac{3}{2} + \frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2} + 0\right) = \left(0, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \] ### 4. Dolžina vektorja \( \vec{a} \) Dolžina vektorja \( \vec{a} \) je: \[ |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] ### Končni rezultat Dolžina vektorja \( \vec{a} \) je: \[ |\vec{a}| = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{cm} \]