RETO N 15 Se tienen los ángulos consecutivos \( A O B \) y \( B O C \), se traza \( \overline{O D} \) bisectriz del \( \Varangle A O B \). Si: \( m \Varangle A O C+m \Varangle B O C=156^{\circ} \). Calcula \( m \Varangle C O D \)

Para resolver esta situación, primero definamos algunas variables. Llamemos \( m \angle AOB = x \) y, por lo tanto, \( m \angle BOC = 156^\circ - x \). Dado que \( \overline{OD} \) es la bisectriz del ángulo \( AOB \), podemos afirmar que: \[ m \angle COD = \frac{1}{2} m \angle AOB = \frac{x}{2} \] De la misma manera, para el ángulo \( BOC \) también aplicamos la bisectriz en el siguiente punto. Si consideramos que la suma del ángulo \( AOB \) y \( BOC \) es \( 156^\circ \), podemos deducir que: \[ m \angle COD = 90^\circ - \frac{m \angle BOC}{2} = 90^\circ - \frac{(156^\circ - x)}{2} \] Ya que \( m \angle COD \) también puede ser representado como: \[ m \angle COD + m \angle BOD = 90^\circ \] Por lo tanto, sumando y resolviendo para \( x \): \[ m \angle COD = \frac{x}{2} \] \[ m \angle BOC = 156^\circ - x \] Ahora, de la relación \( m \angle AOB + m \angle BOC = 156^\circ \) obtenemos: \[ x + (156^\circ - x) = 156^\circ \] Finalmente, encontramos que: \[ m \angle AOB = x \quad \text{y} \quad m \angle BOC = 156^\circ - x \] \[ \Rightarrow m \angle COD = \frac{m \angle ABO}{2} = \frac{(156^\circ)}{4} = 39^\circ \] Por lo tanto, el valor de \( m \angle COD = 39^\circ \).