8.- Obtener el Volumen encerrado por las superficies: $$ x^{2}+y^{2}=4 ; x+z=2 $$; $$ y=4 ; x=0 ; z=0 $$ (Primer octante).

Question

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Para encontrar el volumen encerrado por las superficies dadas en el primer octante, primero identificamos las superficies:

1. $$ x^2 + y^2 = 4 $$: Esta es la ecuación de un cilindro de radio 2, orientado a lo largo del eje $$ z $$.
2. $$ x + z = 2 $$: Esta es un plano que se puede reescribir como $$ z = 2 - x $$.
3. $$ y = 4 $$: Este es un plano horizontal.
4. $$ x = 0 $$: Este es el plano $$ yz $$.
5. $$ z = 0 $$: Este es el plano $$ xy $$.

Dado que estamos en el primer octante, las restricciones son $$ x \geq 0 $$, $$ y \geq 0 $$, y $$ z \geq 0 $$.

### Paso 1: Determinar los límites de integración

Primero, observamos que el cilindro $$ x^2 + y^2 = 4 $$ se intersecta con el plano $$ y = 4 $$. Sin embargo, dado que el radio del cilindro es 2, el valor máximo de $$ y $$ en el cilindro es 2. Por lo tanto, el plano $$ y = 4 $$ no afecta el volumen en el primer octante.

Ahora, el plano $$ x + z = 2 $$ se intersecta con el cilindro. Para encontrar los límites de integración, consideramos el cilindro en el primer octante:

- Para $$ x = 0 $$, $$ y^2 = 4 $$ implica $$ y = 2 $$.
- Para $$ y = 0 $$, $$ x^2 = 4 $$ implica $$ x = 2 $$.

### Paso 2: Establecer la integral

El volumen $$ V $$ se puede calcular usando la integral triple:

$$
V = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} \int_0^{2 - x} dz \, dy \, dx
$$

### Paso 3: Calcular la integral

Primero, integramos respecto a $$ z $$:

$$
\int_0^{2 - x} dz = (2 - x) - 0 = 2 - x
$$

Ahora, sustituimos esto en la integral:

$$
V = \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4 - x^2}} (2 - x) \, dy \, dx
$$

Ahora integramos respecto a $$ y $$:

$$
\int_0^{\sqrt{4 - x^2}} (2 - x) \, dy = (2 - x) \cdot \sqrt{4 - x^2}
$$

Por lo tanto, la integral se convierte en:

$$
V = \int_0^2 (2 - x) \sqrt{4 - x^2} \, dx
$$

### Paso 4: Calcular la integral final

Ahora, resolvemos la integral:

$$
V = \int_0^2 (2\sqrt{4 - x^2} - x\sqrt{4 - x^2}) \, dx
$$

Para resolver esta integral, podemos usar la sustitución $$ x = 2\sin(\theta) $$, lo que implica $$ dx = 2\cos(\theta) d\theta $$ y los límites cambian de $$ x = 0 $$ a $$ x = 2 $$ (es decir, $$ \theta = 0 $$ a $$ \theta = \frac{\pi}{2} $$).

Sustituyendo:

$$
V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 2\sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} \cdot 2\cos(\theta) - 2\sin(\theta)\sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} \cdot 2\cos(\theta) \right) d\theta
$$

Simplificando:

$$
= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 4\sqrt{4(1 - \sin^2(\theta))} \cos(\theta) - 4\sin(\theta)\sqrt{4(1 - \sin^2(\theta))} \cos(\theta) \right) d\theta
$$

$$
= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 4\sqrt{4\cos^2(\theta)} \cos(\theta) d\theta
$$

$$
= \int_0^{\frac{\pi}{2}} 8\cos^2(\theta) d\theta
$$

Usando la identidad $$ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $$:

$$
= 8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = 4 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 4 \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = 2\pi
$$

### Resultado final

Por lo tanto, el volumen encerrado por las superficies en el primer octante es:

$$
\boxed{2\pi}
$$
El volumen encerrado por las superficies en el primer octante es $$ 2\pi $$.

8.- Obtener el Volumen encerrado por las superficies: \( x^{2}+y^{2}=4 ; x+z=2 \); \( y=4 ; x=0 ; z=0 \) (Primer octante).

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