Se considera la función \( c=3 t+t^{2} \) que representa el caudal que brota de una tubería, donde \( c \) se mide en litros por minuto y \( t \) en minutos. Calcula el volumen de agua que se consigue recoger en un tanque en las dos primeras horas.

Para calcular el volumen de agua recogido en un tanque durante las dos primeras horas, primero hay que convertir las horas a minutos: 2 horas son 120 minutos. Luego, debemos encontrar el volumen total recogido evaluando la función \( c(t) = 3t + t^2 \) usando la integral definida desde 0 hasta 120. La integral que necesitamos calcular es: \[ V = \int_{0}^{120} (3t + t^{2}) \, dt \] Realizando la integral: \[ \int (3t + t^2) \, dt = \frac{3t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + C \] Ahora aplicamos los límites de integración: \[ V = \left[ \frac{3 (120)^2}{2} + \frac{(120)^3}{3} \right] - \left[ \frac{3 (0)^2}{2} + \frac{(0)^3}{3} \right] \] Calculando: \[ V = \frac{3 (14400)}{2} + \frac{1728000}{3} = 21600 + 576000 = 597600 \] Por lo tanto, el volumen de agua que se recoge en el tanque durante las dos primeras horas es \( 597600 \) litros.