Obtenga el área bajo a curva de la función \( t(x)=-x^{4}+\frac{1}{2} x^{2}+2 \)

Determinar el área "bajo la curva" de \( t(x)=-x^4+\frac{1}{2}x^2+2 \) se interpreta como hallar el área del conjunto de puntos comprendidos entre la curva y el eje \( x \). Para ello se procede en dos pasos: 1. Identificar los puntos donde la función corta al eje \( x \), es decir, resolver \[ -x^4+\frac{1}{2}x^2+2=0. \] 2. Integrar en el intervalo determinado por estos puntos, teniendo en cuenta la simetría (si la hay) para simplificar el cálculo. --- ### 1. Cálculo de los puntos de intersección con el eje \( x \) Se tiene la ecuación: \[ -x^4+\frac{1}{2}x^2+2=0. \] Multiplicamos ambos lados por \( 2 \) para eliminar el coeficiente fraccionario: \[ -2x^4+x^2+4=0. \] Multiplicando por \(-1\) se obtiene: \[ 2x^4 - x^2 - 4 = 0. \] Realizaremos el cambio de variable \[ u=x^2, \] de modo que la ecuación se transforma en: \[ 2u^2 - u - 4=0. \] Utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas: \[ u = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \] con \( a=2 \), \( b=-1 \) y \( c=-4 \), se tiene: \[ u = \frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4(2)(-4)}}{2\cdot 2} = \frac{1\pm\sqrt{1+32}}{4} = \frac{1\pm\sqrt{33}}{4}. \] Recordando que \( u=x^2 \ge 0 \), la única solución válida es: \[ x^2 = \frac{1+\sqrt{33}}{4}. \] Por lo tanto, los puntos de intersección son: \[ x=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}} \quad \text{y} \quad x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}. \] --- ### 2. Cálculo del área mediante integración El área \( A \) bajo la curva y sobre el eje \( x \) se obtiene integrando \( t(x) \) entre los límites de intersección. Debido a la simetría de la función (los límites son simétricos respecto a \( 0 \) y la función es par o impar en la parte integrable), se puede escribir: \[ A = 2\int_{0}^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}} \left(-x^4+\frac{1}{2}x^2+2\right)dx. \] Procedemos a determinar la antiderivada. La primitiva \( F(x) \) es: \[ F(x)=\int\left(-x^4+\frac{1}{2}x^2+2\right)dx = -\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{6}+2x+C. \] Entonces, evaluamos la integral definida: \[ A = 2\left[ -\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{6}+2x \right]_{0}^{\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}}. \] Como \( F(0)=0 \), tenemos: \[ A = 2\left(-\frac{1}{5}\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}\right)^5+ \frac{1}{6}\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}\right)^3+ 2\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}\right)\right). \] Podemos dejar la respuesta de esta forma o, si se desea, expresar en términos de la cantidad \( a \) definida como: \[ a=\sqrt{\frac{1+\sqrt{33}}{4}}, \] de modo que: \[ A = 2\left(-\frac{a^5}{5}+\frac{a^3}{6}+2a\right). \] --- Esta es la expresión del área bajo la curva de \( t(x) \) en el intervalo determinado por sus intersecciones con el eje \( x \).