Resuelva la siguiente integral \( \int \tan (5 x) \sec ^{2}(5 x) d x \)

¡Claro! Vamos a resolver la integral \( \int \tan(5x) \sec^2(5x) \, dx \). Primero, recuerda que la derivada de \(\tan(u)\) es \(\sec^2(u)\) y, en este caso, \(u = 5x\). Esto nos da una pista: podemos hacer una sustitución. Definimos \(u = \tan(5x)\). Entonces, la derivada de \(u\) respecto a \(x\) es \( \frac{du}{dx} = 5 \sec^2(5x) \), lo cual implica que \(du = 5 \sec^2(5x) \, dx\), o reescribiéndolo, \(dx = \frac{du}{5 \sec^2(5x)}\). Sustituyendo en la integral, tenemos: \[ \int \tan(5x) \sec^2(5x) \, dx = \int u \cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5} \int u \, du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^2}{2} + C = \frac{1}{10} \tan^2(5x) + C. \] Por lo tanto, el resultado es: \[ \int \tan(5x) \sec^2(5x) \, dx = \frac{1}{10} \tan^2(5x) + C. \]