Epererio6: Resolver \( \frac{d y}{d x}=4 y^{3} \)

Para resolver la ecuación diferencial \( \frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \), podemos aplicar el método de separación de variables. Primero, reorganizamos la ecuación para colocar todas las \( y \) en un lado y todas las \( x \) en el otro: \[ \frac{1}{y^{3}} dy = 4 dx \] Integrando ambos lados, obtenemos: \[ \int \frac{1}{y^{3}} dy = \int 4 dx \] Esto nos da: \[ -\frac{1}{2y^{2}} = 4x + C \] Donde \( C \) es la constante de integración. Para despejar \( y \), podemos multiplicar por \(-2\) y luego tomar la inversa: \[ y^{2} = \frac{-1}{8x + 2C} \] Finalmente, \( y = \pm \sqrt{\frac{-1}{8x + 2C}} \). ¡Y ahí tienes la solución a la ecuación diferencial!