$$ \int _{}^{}\sqrt {\frac{1-\cos (x)}{1+\cos (x)}} d x $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Empezamos con la integral

$$
\int \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} \, dx.
$$

**Paso 1. Simplificar la expresión bajo la raíz**

Utilizamos las fórmulas de ángulo medio:

$$
1-\cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \quad \text{y} \quad 1+\cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right).
$$

Por lo tanto, la fracción queda:

$$
\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)} = \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \tan^2\left(\frac{x}{2}\right).
$$

Entonces, la raíz se simplifica a:

$$
\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} = \sqrt{\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} = \left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|.
$$

Asumiendo que $$ \tan\left(\frac{x}{2}\right) $$ es positiva en el intervalo de interés (o trabajando con la función por tramos), podemos escribir:

$$
\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} = \tan\left(\frac{x}{2}\right).
$$

De este modo, la integral se convierte en

$$
\int \tan\left(\frac{x}{2}\right) \, dx.
$$

**Paso 2. Hacer un cambio de variable**

Sea

$$
u = \frac{x}{2} \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{2}\,dx \quad \Rightarrow \quad dx = 2\,du.
$$

Reemplazamos en la integral:

$$
\int \tan\left(\frac{x}{2}\right)\, dx = \int \tan(u) \cdot 2\,du = 2 \int \tan(u)\, du.
$$

**Paso 3. Integrar la función $$\tan(u)$$**

Recordamos que

$$
\int \tan(u)\, du = -\ln\left|\cos(u)\right| + C.
$$

Por lo tanto,

$$
2 \int \tan(u)\, du = 2 \left[-\ln\left|\cos(u)\right| \right] + C = -2\ln\left|\cos(u)\right| + C.
$$

Regresando a la variable original, recordamos que $$ u = \frac{x}{2} $$. Así, la solución es:

$$
-2\ln\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C.
$$

**Respuesta final:**

$$
\int \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} \, dx = -2\ln\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C.
$$
La integral se simplifica a $$ -2\ln\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Beyond the Answer

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions